Леонид Филатов родился 24 декабря 1946 года в городе Казань, Республика Татарстан. После развода родителей с семи лет проживал с матерью в Ашхабаде. Учась в школе, начал печататься в городских газетах и журналах. В 1965 году окончил школу и сразу же решил стать актером. Для этого отправился в Москву, где поступил в Высшее театральное училище имени Щукина на актерский факультет. Получив диплом в 1969 году вступил в труппу Московского театра на Таганке.
Одновременно продолжал и литературную деятельность. Вышли в свет его книги «Лисистрата», «Про Федота-стрельца, удалого молодца», «Большая любовь Робина Гуда», «Любовь к трем апельсинам», «Я - человек театральный», «Сукины дети». Особенно отмечена комедия Филатова «Лисистрата», за которую получил премию литературного журнала «Октябрь». Еще являлся автором пьес: «Часы с кукушкой», «Пестрые люди», «Художник из Шервудского леса».
С 1970 года Филатов снимался в кино. Среди его киноработ, роли в фильмах: «Город первой любви», «Экипаж», «Женщины шутят всерьез», «Чичерин», «Забытая мелодия для флейты», «Благотворительный бал». Всего фильмография артиста включает более сорока киноролей. В 1990 году в качестве режиссера, сценариста и актера снял фильм «Сукины дети». В это же время избрался секретарем Союза кинематографистов России.
В 1996 году Леонид Алексеевич выпустил диск «Оранжевый кот» с песнями в соавторстве с Владимиром Качаном. За цикл авторских программ «Чтобы помнили» Филатову присуждены премия «ТЭФИ» и Государственная премия РФ в области кино и телевидения.
Тяжелая болезнь подтолкнула Филатова взяться за новую форму творчества. На протяжении десяти лет вел на телеканале ОРТ передачу «Чтобы помнили», посвященную забытым, хотя и известным в прошлом артистам, ушедшим из жизни.
Леонид Алексеевич Филатов умер 26 октября 2003 года в Москве после тяжелой и продолжительной болезни. Похоронен на Ваганьковском кладбище столицы.