Азамат Тлисов родился 30 сентября 1977 года в ауле Апсуа, Ставропольский край. Получив аттестат о среднем образовании, в 1998 году с отличием окончил экономический факультет Карачаево-Черкесского технологического института. Второе высшее образование получил в Краснодарском университете МВД России по специальности «Юриспруденция». Позднее, защитив диссертацию, получил ученую степень «кандидат экономических наук».
С 1998 года принимал участие в реализации программы Российской научно-социальной программы для молодежи и школьников «Шаг в будущее» по Карачаево-Черкесской Республике. С 2000 года Тлисов являлся членом Центрального совета программы «Шаг в будущее». В 2001 году назначен главным редактором молодежной газеты «Студенческий меридиан».
Азамат Борисович, в 2002 году занял должность руководителя проектов Республиканской общественной молодежной организации «Интеллектуально-творческое общество молодежи» Карачаево-Черкесской Республики. В 2006 году принимал участие в разработке «Программы социального развития Карачаево-Черкесской Республики на 2007-2020 годы».
В этот период, Азамат Тлисов стал помощником депутата Государственной Думы Федерального Собрания Российской Федерации Ахмата Эркенова. Через два года назначен руководителем рабочей группы проекта партии «Единая Россия» «IT Прорыв».
До 2007 года Тлисов занимал пост заведующего кафедрой, а затем заместителя начальника по учебной и научной работе Черкесского филиала Краснодарского университета МВД. Далее, с 2007 по 2016 год являлся заместителем декана, помощником проректора, заместителем директора в Карачаево-Черкесской государственной технологической академии.
В 2016 году Азамат Борисович Тлисов избран директором Северо-Кавказского института - филиала Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации.
Помимо этого Тлисов ведет большую общественную деятельность. Является членом Совета по молодежной политике Северо-Кавказского федерального округа, членом Совета молодых ученых и специалистов при Президенте Карачаево-Черкесской Республики, действительным членом «Кадрового резерва», членом Консультативного совета Управления Федеральной регистрационной службы по Карачаево-Черкесской Республике по взаимодействию с некоммерческими организациями. Участник делегации от Карачаево-Черкесской республики на встрече с Президентом Российской Федерации с Владимиром Путиным.
В 2017 году избран в Общественную палату Российской Федерации. Входит в комиссию по развитию образования и науки. Параллельно является членом комиссии с правом совещательного голоса по развитию экономики, предпринимательства, сферы услуг и потребительского рынка, а также комиссии по территориальному развитию и местному самоуправлению.