Алексей Папин родился в подмосковном Реутове в 1987 году. В спорт Алексея привёл отец, отдав его в секцию кикбоксинга в 7 лет, в 1994 году, в этом же году Алексей провёл свой первый бой, в котором одержал победу, что мотивировало его на дальнейшие занятия спортом. Затем Алексей попробовал себя в различных видах спорта, таких как дзюдо, айкидо, футбол, хоккей, каратэ, гимнастка, но в итоге вернулся в кикбоксинг. Зачастую отец заставлял сына пересиливать себя и идти в спортзал. Занимался Алексей Папин в учебном центре «Пересвет», который был расположен в его родном Реутове. В 1998 году Алексей Папин выиграл первенство города, затем была масса различных региональных турниров, где-то Алексей побежал, где-то уезжал без наград. В четырнадцать лет Папин одержал победу на своем первом серьёзном турнире, выиграв первенство Вооруженных сил страны.
Своеобразный прорыв произошел у него после перехода во взрослый спорт. В финале соревнований победив нокаутом в первом раунде мастера спорта международного класса, будучи кандидатом в мастера спорта. На финальном бою присутствовал Виктор Петрович Ульянич, старший тренер по боксу ФГУ МО РФ «ЦСКА», а с 2013 года директор СДЮШОР по боксу и кикбоксингу ЦСКА. После этого Алексея Папина пригласили в ЦСКА, где он отслужил срочную службу в армии, затем остался служить по контракту. Алексей считает себя воспитанником не только Реутовского клуба «Пересвет», но и, конечно же, воспитанником клуба армии ЦСКА.
Свою первую большую победу в кикбоксинге спортсмен одержал в 2007 году, выиграв кубок Мира по кикбоксингу. Он является чемпионом мира по кикбоксингу WAKO, трижды становился чемпионом Европы по версии WAKO в первом тяжёлом весе, 6 раз выигрывал чемпионат России, а на профессиональном уровне выигрывал чемпионские пояса в таких организациях как WAKO-Pro, ISKA, W5.
Добившись серьёзных успехов в кикбоксинге как среди любителей, так и среди профессионалов. Алексей решает перейти в профессиональный бокс.
Знакомство с профессиональным боксом началось ещё в юном возрасте, когда в Реутов переехал жить и тренироваться Григорий Дрозд, он тогда завершал свою карьеру в тайском боксе и планировал переход в профессиональный бокс. Григорий Дрозд и Алексей Папин долгое время тренировались под руководством одного тренера Васильева Сергея Николаевича. Алексей выступал в любительском боксе, являлся победителем турнира на призы В.П. Агеева, а также турнира памяти В.С. Щербакова. В 2011 году, когда Григорий Дрозд возобновил свою профессиональную карьеру, Алексей Папин помогал ему в спаррингах. В марте 2015 года Алексей Папин был приглашён спарринг партнёром в лагерь Дмитрия Кудряшова. В апреле этого же года Алексей спарринговал с Александром Поветкиным, на этом спарринге присутствовал менеджер Поветкина, Дмитрий Иванов, который впоследствии стал менеджером Алексея Папина. Боксерская техника имеет свои отличительные особенности, и первые свои поединки Папин проводил в более привычной кикбоксерской манере. Однако в ходе подготовки было проведено много спаррингов с действующими боксерами, и подмосковный спортсмен понемногу освоился в боксе.
Дебют на профессиональном ринге состоялся в ноябре 2015 года, Алексей начал свою карьеру победив техническим нокаутом в четвёртом раунде Сергея Белошапкина. 13 февраля 2016 года Алексей побеждает Илью Рольгейзера.
21 мая 2016 года в рамках вечера бокса Лебедев-Рамирес, Папин проводит свой третий поединок в профессиональной боксёрской карьере, который получился одним из лучших. На протяжении шести раундов он разнообразно атаковал опытного белоруса Юрия Быховцева (9-9-2, 5 КО) и одержал убедительную победу по очкам. В сентябре этого же года после сверхуверенной победы над уругвайцем Хорхе Родригесом Оливейрой Алексей попросил себе соперника посильнее, так как он быстро адаптировался к новому виду спорта. 17 декабря 2016 года в Екатеринбурге его ждал крепкий панамец Исраэль Дуффус (11-3, 9 КО), самый непростой и обученный соперник для Алексея. Папин умело сокращал дистанцию, а его оппонент постоянно низко наклонялся, пытаясь защититься от мощных ударов россиянина. Постоянный прессинг и атаки Папина привели к техническому нокауту в пятом раунде.
4 марта 2017 года в Балашихе состоялся вечер бокса на призы заслуженного мастера спорта СССР Виктора Петровича Агеева, в рамках которого свой очередной поединок провёл Алексей, он нокаутировал своего визави Серхио Альберто Анхеля (12-1-1, 6 КО) в первом раунде. 27 мая 2017 года в Воронеже в бойцовском шоу «Fights of the Future», Папин отправляет в нокаут уже во втором раунде Рохелио Омара Росси.
27 ноября 2017 года Алексей Папин в своем девятом поединке на профессиональном ринге встретился с опытным украинским боксером, бывшим претендентом на чемпионский титул в полутяжелом весе Исмаилом Силлахом (25-5, 20 КО), имеющим большой опыт выступлений в любительском и профессиональном боксе. Перед этим боем многие задавались вопросом, что сможет противопоставить Папин боксерской технике и опыту своего соперника, а сам Силлах даже пообещал дать россиянину «урок бокса». Однако поединок закончился уже в первом раунде, когда после успешной атаки Папина украинец оказался в глубоком нокауте.
23 июня 2018 года Алексей Папин провел очень важный для своей карьеры поединок за вакантный титул IBF International в первом тяжелом весе против опытного боксера из Намибии Уиллбифорса Шихепо (25-9, 18 КО). Уже в первом раунде этого боя россиянин отправил соперника в нокдаун, и затем уверенно владел инициативой, победив в итоге тежническим нокаутом в восьмом раунде.