В начале 2000-х годов Алексея Весёлкина знали многие жители России, а его передачи ждали практически в каждом доме. Долгое время он был ведущим весьма известным программ: «Царь горы», «До 16 и старше» и других. Но в последние годы его жизнь была тяжелой из-за рака крови, которое выявили далеко не сразу. Несмотря на такое заболевание актер продолжал работать.

Алексей Весёлкин был найден в своей квартире в Москве 26 марта. Тело обнаружила его жена. Она сразу же вызвала бригаду скорой помощи, однако помочь актеру было уже невозможно. Причина смерти – рак крови. Диагноз был поставлен только в прошлом году. «Леша мужественно перенес известие о своем заболевании и до конца верил в победу. До самой последней недели он утверждал, что после очередной химиотерапии необходимо набираться сил и возвращаться к обычной жизни», - рассказал Алексей Стиллавин, друг Алексея Весёлкина.

Информацию о смерти актера подтвердили в театре РАМТ. Он стал сотрудником театра в 1983 году сразу после окончания училища. За долгие годы работы Алексей Весёлкин сыграл практически 60 ролей.