Андрей Костин родился 21 сентября 1956 года в городе Москва. Его отец - Леонид Алексеевич Костин являлся сотрудником аппарата ЦК КПСС, а мать - Тамара Михайловна Семёнова была старшим преподавателем высшей математики в Академии труда. В детстве семья Костиных жила в коммунальном доме на Ленинском проспекте. В детстве семь лет учился в музыкальной школе по классу скрипки.
В 1979 году с отличием окончил экономический факультет Московского Государственного Университета имени Ломоносова по специальности «Экономист-международник». И сразу был назначен на заграничную работу в Министерство иностранных дел СССР.
С 1979 по 1982 год, был сотрудником генерального консульства СССР в Австралийском Сиднее. В консульстве отвечал за выдачу виз, получая зарплату 300 австралийских долларов в месяц. В этот период, он приобретал электронную технику, а затем сдавал её в комиссионные магазины в СССР, что давало, по его признаниям, по тем временам «колоссальную прибыль». После возвращения в 1982 году на родину из дебютной командировки Костин купил себе первый автомобиль - ВАЗ-2101.
В 1982 работал секретарем Европейского департамента МИД СССР. С 1985 по 1990 годы являлся сотрудником посольства СССР в Великобритании, Лондон. В 1990 году получил пост первого секретаря, советник Европейского департамента МИД СССР.
Через два года, в 1992 году, ушел с государственной службы и занялся предпринимательством. В Москве был заместителем Александра Лебедева работая в «Русской инвестиционно-финансовой компании». Курировал реализацию схем, связанных с долгами бывшего СССР.
В 1993 году Костин назначен заместителем руководителя управления иностранных инвестиций банка «Империал». В 1995 году стал Первым заместителем председателя Национального резервного банка Александра Лебедева, где занимался работой с внешними долгами и подбором кадров.
Указом Президента Бориса Ельцина 10 октября 1996 года назначен председателем Внешэкономбанка, который после распада Союза Советских Социалистических Республик стал агентом государства по обслуживанию советских долгов и активов.
В апреле 1997 года избрался в федеральный политический совет Всероссийского общественно-политического движения «Наш дом - Россия». Через четыре года в Финансовой академии при Правительстве РФ защитил диссертацию «Глобализация как форма интернационализации экономики» с присвоением ученой степени кандидата экономических наук.
В начале финансового кризиса 1998 года Костин находился в отпуске в Канаде. Вернувшись в первые дни событий в Россию, Костин, после консультаций в правительственных и деловых кругах, принял участие в нашумевшем совещании у премьер-министра Кириенко, где были приняты экстренные «антикризисные меры» и объявлен дефолт.
В конце 2001 года Костин и Касьянов стали инициаторами проекта объединения Внешторгбанка и Внешэкономбанка. Российское правительство одобрило это решение и постановило выкупить у Центробанка акции ВТБ, объединить его с ВЭБ и доверить Костину управление объединенным банком. В итоге, слияние ВЭБ и ВТБ не состоялось, но в июне 2002 года Костин назначен на должность президента и председателя правления Внешторгбанка.
В июле 2007 года Андрей Леонидович вошел в совет директоров ОАО «Российские железные дороги» и заново утвержден на этом посту в июле 2008 года, но через два года отказался от перевыборов из-за желания полностью сосредоточиться на работе в ВТБ. С 1 октября 2007 года избрался членом Высшего Совета партии Единая Россия.
Также, Андрей Костин являлся председателем Делового совета саммита Азиатско-тихоокеанского экономического сотрудничества во Владивостоке. С 1 ноября 2014 года избран директором Высшей школы менеджмента Санкт-Петербургского государственного университета.
Андрей Леонидович работает в структурах ВТБ занимая должность Президента - председателя правления, члена наблюдательного совета банка ВТБ, председателя наблюдательного совета ВТБ Банк (Украина), ВТБ24, «Банк ВТБ Северо-Запад», члена совета директоров закрытого акционерного общества «ВТБ Капитал».
Президент России Владимир Путин 14 августа 2019 года провел встречу с Андреем Костиным, на которой обсудил вопросы потребительского кредитования. Глава государства заявил, что в вопросах кредитования не нужно доводить граждан до экстремального состояния. Андрей Леонидович заверил, что банк усилит контроль за кредитами и не будет выдавать их проблемным заемщикам.
Андрей Костин 16 марта 2020 года на встрече с президентом России Владимиром Путиным рассказал об итогах работы финансовой организации в 2019 году и текущую деятельность группы. В частности, президент ВТБ рассказал главе государства о финансовых показателях группы, переход на цифровизацию услуг и развитии ипотечного кредитования населения.
Президент России Владимир Путин 16 марта 2020 года провел рабочую встречу с председателем правления Банка ВТБ. В ходе беседы стороны обсудили текущую деятельность. В частности, Костин рассказал о финансовых показателях, по которым чистая прибыль банка, по международным стандартам увеличилась на 10%, и впервые превысила 200 млрд рублей.
Личная жизнь Андрея Костина стабильна и надежна. Со своей женой Натальей Гордеевой банкир познакомился в университете, они учились на одном курсе МГУ. Со временем в 1978 году у пары родился сын Андрей. Костин-младший пошёл по стопам отца, окончил Финансовую академию и специальную программу Deutsche Bank, работал в лондонском подразделении банка, к 2011 году поднялся по карьерной лестнице до заместителя председателя правления. К сожалению, летом 2011 года единственный наследник председателя правления ВТБ погиб в ДТП, катаясь на квадроцикле, на отдыхе в Ярославской области. Но у банкира есть внук - наследник.
Андрей Леонидович в свободное время увлекается горными лыжами. Любит искусство. Увлекается живописью, поклонник творчества художников группы «Бубновый валет». Он, ценитель оперы и классической музыки, поддерживает театры и очень много занимается благотворительностью.