Андрей Борисенко родился 17 апреля 1964 года в городе Санкт-Петербург. В 1981 году окончил физико-математическую школу № 30 родного города. Затем, в 1987 году окончил Балтийский государственный технический университет по специальности «Динамика полета и управления».
С 1987 года в течении двух лет работал в войсковой части 31303 в качестве служащего военно-морского флота. В 1989 году перешел в научно-производственное объединение «Энергия» в качестве специалиста Главной оперативной группы управления. С 1999 года являлся сменным руководителем полета в Центре Управления Полетом, сначала по программе орбитального комплекса «Мир», а затем Российского сегмента международного космической станции.
В начале сентября 2002 года Борисенко получил положительное заключение на заседании главной медицинской комиссии. В январе 2003 года успешно прошел технические экзамены в ракетно-космического комплекса «Энергия». Весной того же года на заседании Межведомственной комиссии по отбору космонавтов зачислен в отряд космонавтов для прохождения общекосмической подготовки.
С 16 июня 2003 года Андрей Борисенко приступил к общекосмической подготовке, которую завершил 27 июня 2005 года, сдав государственные экзамены в Центре подготовки космонавтов имени Юрия Гагарина с оценкой «отлично». На заседании Межведомственной квалификационной комиссии 5 июля 2005 года присвоена квалификация «космонавтиспытатель». Далее, до 2008 года готовился в составе группы космонавтов по программе МКС.
Андрей Иванович 21 сентября 2008 года в опубликованном Роскосмосом плане полетов на МКС объявлен бортинженером дублирующего экипажа 24-й экспедиции на МКС. Одновременно в этом же плане появилось сообщение о его назначении бортинженером основного экипажа 26-й экспедиции на МКС. Через два месяца назначение официально подтверждено НАСА при объявлении составов экипажей. Однако в мае 2009 года это назначение не подтвердили при очередном изменении составов экипажей.
В июле 2009 года появились сообщения о его назначении в основной экипаж 27-й экспедиции на Международную Космическую Станцию. В октябре 2009 года данное назначение подтвердили в Американском Национальном Космическом Агентстве.
Свой первый полет в космос Андрей Борисенко совершил в качестве бортинженера космического корабля «Союз ТМА-21», бортинженера 27-й и командира 28-й основных экспедиций на МКС с 4 апреля 2011 по 16 сентября 2011 года. Стартовал вместе с Александром Самокутяевым и Рональдом Гараном. Общая продолжительность полета составила 164 суток 5 часов 41 минуту 19 секунд.
Указом Президента Российской Федерации № 904 от 25 июня 2012 года за мужество и героизм, проявленные при осуществлении длительного космического полета на Международной космической станции, Борисенко Андрею Ивановичу присвоено звание Героя России.
Второй полет в космос Андрей Иванович совершил с 19 октября 2016 по 10 апреля 2017 года в качестве бортинженера экипажа космического корабля «Союз МС-02». В экипаж также входили Сергей Рыжиков и второй бортинженер экипажа астронавт НАСА Роберт Кимбро. После успешного выполнения программы полета 10 апреля 2017 года корабль с тремя членами экипажа отстыковался от МКС в 10:58 мск, а в 14:21 мск спускаемый аппарат корабля совершил мягкую посадку в 147 км юго-восточнее казахстанского города Жезказган. Продолжительность полета составила 173 суток 3 часа 15 минут 21 секунд.
Общая продолжительность двух космических полетов составила 337 суток 08 часов 56 минут.
На апрель 2019 года Андрей Иванович Борисенко является начальником группы космонавтов-испытателей Центра Подготовки Космонавтов имени Юрия Гагарина.