Александр Киселев родился 30 января 1962 года в Ленинграде.
С 1991 по 1995 год работал в российском представительстве компании DHL-International, пройдя путь от руководителя службы маркетинга в Санкт-Петербурге до менеджера по развитию бизнеса DHL в государствах СНГ. Затем возглавлял региональное представительство компании Energizer, был генеральным директором компании-дистрибьютора печатных изданий «Нева-пресс».
В 2000 году назначен заместителем министра связи и информатизации России, в 2002 году - первым замминистра.
С 2006 по 2009 год руководил телекоммуникационным холдингом «Связьинвест».
12 февраля 2009 года назначен гендиректором ФГУП «Почта России».
Владеет японским, китайским и английским языками.
Женат, воспитывает четверых детей.
Окончил Восточный факультет Ленинградского госуниверситета им. Жданова.