Юрий Потеенко родился 5 декабря 1960 года в городе Молодогвардейск, Луганская Народная Республика. С 1983 года осуществлял музыкальное сопровождение на рояле фильмов из коллекции Госфильмофонда СССР на зрительских показах в кинотеатре «Иллюзион», Доме Кино, Киноцентре на Красной Пресне. В 1986 году окончил Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского по специальности «композиция и хоровое дирижирование».
С 1987 года Потеенко работал на Всесоюзной студии грамзаписи «Мелодия» в должности заведующего редакцией эстрады. Являлся председателем Художественного совета студии грамзаписи и членом жюри конкурсов «Красная гвоздика», «Песня года», «Ступень к Парнасу», телешоу «50х50». В 1988 году стал членом Союза композиторов России.
Помимо написания оригинальной музыки к кино Юрием Потеенко сделана обширная работа на киностудии имени Горького по восстановлению фонограмм фильмов одного из классиков советского кино Якова Протазанова с музыкой Леонида Половинкина.
По заказу симфонического оркестра радио и телевидения Потеенко аранжировал и оркестровал ряд сочинений Грига, Огиньского, Скрябина, Форе, Рахманинова и других авторов для разных голосов в сопровождении симфонического оркестра, которые стали основой компакт-дисков.
Юрий Анатольевич с 1997 года преподает на кафедре хорового дирижирования Московской государственной консерватории имени П. И. Чайковского. В 2004 году стал доцентом.
Потеенко является автором симфонии, трех одноактных опер по рассказам А. П. Чехова «Неудача», «Загадочная натура» и «Неженка», оратории «Песни Руси» на тексты древнерусских исторических былин, хоровых циклов «Юдоль Грез» на стихи английских поэтов и «Из русской лирики» на стихи русских поэтов XIX века.
По заказу дирекции Большого театра Юрий Анатольевич Потеенко сделал инструментовку сценического оркестра для натуральных медных духовых инструментов оперы Мусоргского «Хованщина» для премьеры спектакля в 2002 году. Выполнил работу по редакции симфонической партитуры и инструментовке духового оркестра оперы Глинки «Руслан и Людмила» в соответствии с эскизами автора. В 2006 году сделал новую оркестровку балета Пуни «Дочь фараона».
Также Юрий Потеенко является автором музыки в кинофильмах, среди которых «Линия судьбы», «Ночной Дозор», «Дневной Дозор», «Ирония судьбы. Продолжение», «Обитаемый остров», «Книга мастеров», «Черная молния», «Батальонъ», «Время первых», «Анна Каренина. История Вронского».