Константин Корнеев родился 5 июня 1984 года в городе Москва. Спортом начал заниматься с раннего детства. Является воспитанником московской Детско-Юношеской Спортивной Школы по хоккею «Крылья Советов». Принимал непосредственное участие в различных юниорских турнирах, первенствах и чемпионатах.
В возрасте 17 лет, Корнеев дебютировал в чемпионате Суперлиги, отыграв за «Крылья» шесть матчей в сезоне 2001 - 2002 года. В апреле 2002 года, защитник в составе юниорской сборной России выиграл серебро на чемпионате мира, проходившем в Словакии. Позднее, через два месяца Константин выбран на драфте Национальной Хоккейной Лиги под общим 275-м номером североамериканской командой «Монреаль Канадиенз».
Сезон 2002 - 2003 года, молодой спортсмен провел в составе «Крыльев Советов». В том же сезоне, в составе молодежной сборной России завоевал звание Чемпиона Мира среди юношей до 20 лет, обыграв в финальном матче в канадском городе Галифакс хозяев первенства.
Далее, перспективного защитника заметил один из лидеров российского хоккея - казанский клуб «Ак Барс», и следующие три сезона, с 2003 по 2006 год, Константин провел в Казани. В мае 2006 года, игрок подписывает контракт со столичным хоккейным клубом «ЦСКА». На московском чемпионате мира в мае 2007 года, Корнеев вместе с голкипером Константином Барулиным являлся резервным игроком сборной. Участвовал в тренировках, но официально не заявлялся.
Однако после проигрыша россиян в 1/2 финала, главный тренер сборной России, решил все же заявить обоих на матч за третье место. Защитник помог сборной обыграть шведов и получил бронзу взрослого чемпионата мира. В мае 2008 года, Корнеев в составе сборной России отправился на очередной Чемпионат Мира. Принимал участие во всех 9 матчах, набрал 6 результативных очков и завоевал звание Чемпиона Мира.
Чемпионат мира 2009 проходил в Швейцарии, и Константин являлся железным кандидатом в сборную. Однако стартовые три матча тренерский штаб держал защитника в резерве, в ожидании возможного приезда энхаэловцев. В середине турнира Корнеева все же заявили и, сыграв 6 матчей, спортсмен внес лепту во второе подряд российское золото.
В конце декабря 2010 года, опытного защитника обменяли в хоккейный клуб «Aк Барс». Вплоть до конца сезона 2016 года, Корнеев защищал цвета казанского клуба, а 5 мая того же года, игрок подписал контракт с уфимской командой «Салават Юлаев». Отыграв один сезон, спортсмен оказался в череповецкой «Северстали». На начало второй половины сезона 2017 - 2018 года, Корнеев Константин является защитником хоккейного клуба КХЛ «Северсталь» города Череповец.