Профессиональная карьера Алексея Волкова стартовала в 1995 году, когда он находился в составе «Автомобилиста». Затем спортсмен на протяжении двух лет играл в столичных «Крыльях Советов-2».
В 1998 году Алексея Волкова на драфте НХЛ выбрали клубом «Лос-Анджелес Кингз», и он отправился за океан. В Северной Америке российский вратарь выступал за «Галифакс Мусхедз», «Нью-Орлеан Брасс» и «Лоуэлл Локк Монстерз». В первом же сезоне спортсмена признали лучшим новичком QMJHL.
Алексей Волков выступал за «Салават Юлаев» (2001/2002), московское «Динамо» (2002-2004, 2010-2013), «Спартак» (2004/05), «Витязь» (2005-2009), «Атлант» (2012/13). Кроме того, он трудился ассистентом генменеджера ХК «Автомобилист» (с 2015 г), являлся главным специалистом по скаутингу ХК ЦСКА.
На должность генменеджера ХК «Авангард» был назначен весной 2020 года.