Алексей Ошурков родился 19 сентября 1966 года в Ярославле.
В 1984-1986 годах служил в армии - радиомехаником в частях ВВС. Перепробовал много различных занятий, далее остановился на актерской профессии.
В 1994 году окончил Ярославский театральный институт, курс В.А. Воронцова. Служил в МХАТ им. М. Горького.
С 1999 года начал сниматься в кино. Дебютировал в сериалах «Каменская-1» и «Д.Д.Д. Досье детектива Дубровского». Позже были небольшие роли в лентах «Сыщики-1» ("Муха"), «Нина. Расплата за любовь» (Прокудин), «Гражданин начальник» (Лещёв), «FM и ребята» (Владимирский), «Русские в городе ангелов» (Федор).
Узнаваемость к актеру пришла после роли командира роты Сергея Шилкина в военной драме «Штрафбат» с Алексеем Серебряковым в главной роли.
Звездной для Ошуркова стала роль командира части Зубова в комедийном сериале «Солдаты». Его герой проходит путь от капитана до полковника. Действие картины происходит в некой мотострелковой воинской части, в городе близ этой части, в квартирах персонажей. Сюжетная линия в основном выстраивается вокруг второй роты данной воинской части и её военнослужащих. В юмористическом стиле показан быт и отношения солдат, сержантов, прапорщиков, офицеров и их ближайшего окружения.
Позже исполнил заметные роли в картинах «Бешеная» (Пётр Васильевич Стольник), «Хозяйка тайги» (Щукин), «Котовский» (Василий Афанасьев), «Эффект Богарне» (Новиков), «Обнимая небо» (Всеволод Гуськов), «Казаки» (Мелехов), «Ветер перемен» (Николай Петрович), «Шелест. Большой передел» (Коля), «Ищейка-3» (Альберт Денисович Кротов), «Прыжок Богомола» (Алейников), «Мёртвое озеро» (Блесник).