Рем Вяхирев родился 23 августа 1934 года в селе Большая Черниговка, Самарская область. Мальчик вырос старшим ребенком в семье сельских учителей. После школы поступил на нефтяной факультет Самарского индустриального института, который с отличием окончил в 1956 году. Специальность «разработка нефтяных и газовых месторождений», квалификация «горный инженер» выбрал из-за повышенной стипендии на данном направлении обучения.
Первые пятнадцать лет выпускник индустриального института работал в корпорации «Куйбышевнефть», где впервые отмечены его умения организовать производство и сплотить людей ради общего дела. Поэтому в 1971 году принимает под начало все управление «Оренбурггаздобыча». А через два года состоялось судьбоносное знакомство.
Рем Иванович встретился и подружился с новым директором газоперерабатывающего завода, Виктором Черномырдиным. Это обстоятельство, естественно, сыграло ведущую роль в последовавшем через многие годы резком скачке карьерного роста Вяхирева. Хотя и тогда, в семидесятых, никто не сказал бы, что продвижение по службе у него идет медленно.
В 1976 году Вяхирев уже являлся директором производственного объединения «Оренбурггаздобыча», а в 1978 году стал главным инженером гораздо более крупного объединения, ВПО «Оренбурггазпром». Через пять лет, одновременно совершив переход в руководство «Тюменьгазпрома», попал под прямое начальство Министра газовой промышленности страны Виктора Черномырдина, став его заместителем.
Российское акционерное общество «Гапзпром», где Вяхирев стал первым заместителем председателя правления, создавался изначально на базе министерства газовой промышленности, но позже отдан акционерам.
В 1992 году, когда Черномырдин перешел на правительственную работу, Рем Иванович стал в этом концерне председателем правления. До 1996 года параллельно являлся главой Совета директоров РАО. В девяностых годах должностей у него прибавлялось: это и работа в Совете по промышленной политике в Правительстве Российской Федерации, и председательство в Совете директоров и в попечительном совете банка «Империал».
После отставки Виктора Черномырдина в марте 1998 года влияние Вяхирева на политику властей уменьшилось. В следующем 1999 году зашла речь уже о его отставке. В 2000 году Рема Ивановича обязали согласовывать с советом директоров все сделки по имуществу, а в 2001 года отменено условие, по которому Вяхирева можно было уволить исключительно с его согласия.
В марте 2001 года Вяхирев сам вызвался уйти в отставку и 30 мая 2001 года сложил свои полномочия с поста председателя правления ОАО «Газпром». Еще около года являлся членом совета директоров, пока окончательно не покинул газовую монополию.
В 2004 году Вяхирев в последний раз включен в список самых богатых людей России журнала Forbes Russia с состоянием $1,3 млрд. Доход бывшего газовика состоял из государственной пенсии, дивидендов по акциям «Газпрома» и дохода от участия в НПФ «Регионфонд».
Рем Иванович Вяхирев скончался 11 февраля 2013 года на 79-м году жизни у себя на даче в Подмосковье от сердечной недостаточности. Похоронен на Востряковском кладбище.