Евгений Громыко родился 22 декабря 1962 года в станице Выселки, Краснодарский край. После школы, в 1985 году окончил Кубанский государственный аграрный университет по специальности «Ветеринарный врач». Защитив диссертацию на тему: на тему «Этио-патогенетическая терапия эндометритов у коров» получил ученую степень «кандидат ветеринарных наук».
С 1985 по 1989 год работал старшим ветврачом в цехе животноводства межхозяйственного комплекса по доращиванию и откорму крупного рогатого скота «Выселковский». В 1989 году стал членом Выселковского районного комитета комсомола. С 1989 года работал начальником отдела сбыта Выселковского межхозяйственного комбикормового завода.
В 1993 году завод, вместе с некоторыми другими сельхозпредприятиями района преобразован в акционерное общество закрытого типа «Фирма «Агрокомплекс», компанией руководил Александр Ткачев. Евгений Громыко работал в фирме вплоть до 2001 года. Занимал должности заместителя директора по коммерческим вопросам, начальника отдела экологической безопасности, заместителя директора по вопросам внешней экологической политики и связям.
С 2001 года Громыко возглавлял Департамент регионального продовольствия Краснодарского края. В том же году назначен советником главы администрации Краснодарского края Александра Ткачева. С 2002 по 2004 год занимал должность полномочного представителя администрации Краснодарского края по торгово-экономическому сотрудничеству. На протяжении следующего года являлся первым заместителем генерального директора. До 2009 года занимал пост заместителя генерального директора по стратегическим вопросам государственного унитарного предприятия «Кубанский продовольственный фонд».
Евгений Васильевич с 2009 по 2012 год являлся заместителем главы администрации (губернатора) Краснодарского края Александра Ткачева. Курировал вопросы агропромышленного комплекса. Удостоен звания Почетный работник агропромышленного комплекса России.
С 2012 по 2014 год Громыко Евгений Васильевич избрался депутатом Законодательного собрания Краснодарского края V созыва. Баллотировался от Атаманского одномандатного избирательного округа №19. Являлся заместителем председателя законодательного собрания: председателем Комитета по вопросам использования природных ресурсов и экологической безопасности на непостоянной основе. Стал членом фракции Всероссийской политической партии «Единая Россия».
С 22 января 2014 по 2015 год Громыко занимал пост сенатора в Совете Федерации России от законодательного органа государственной власти Краснодарского края. Входил в комитет по аграрно-продовольственной политике и природопользованию.
Евгений Васильевич Громыко 23 июля 2015 года назначен первым заместителем министра сельского хозяйства России. С 9 апреля 2016 по 8 июня 2018 года являлся заместитель министра сельского хозяйства Российской Федерации.
После ухода с государственной службы Евгений Васильевич Громыко занимает пост Президента Агропромышленного союза Кубани.