Александр Степанович Ворошило родился 15 декабря 1944 года в Днепропетровске.
Отец - Степан Семенович Ворошило (1912–1987), работал на одном из заводов Днепропетровска. Александр был пятым ребенком в семье. Сразу после его рождения мать Евдокия Афанасьевна (1915–1986) на год попала в больницу, за ним ухаживали сестры.
Никакого особенного внимания на свою музыкальность Саша не обращал, надо было выучиться ремеслу и пойти работать, пополнять небогатый семейный бюджет. Хотя ему здорово помогало умение играть на аккордеоне и на баяне. Обучился он этому сам. Симпатичного паренька охотно звали на свадьбы и гулянья, а там кормили. Ворошило решил стать токарем, пошел на завод, вскоре получил повестку в армию. Служил в Подмосковье, в армии вступил в партию, и ждала бы его наверняка образцово-показательная рабочая биография, если бы не случай.
Окончил ОНМА имени А. В. Неждановой в 1974 году. В 1973 году, ещё на 4-м курсе, он был зачислен солистом в Одесский оперный театр, где исполнял партии Ротного в «Евгении Онегине», Елецкого в «Пиковой даме» П. И. Чайковского, Эскамильо и Моралеса в «Кармен» Ж. Бизе, Шарплеса в «Чио-Чио-Сан».
В 1975 году, пройдя конкурс, зачислен без стажировки в труппу Большого театра. По некоторым данным, прошёл конкурс единственным из 138 претендентов. Дебютировал в Большом в опере «Иоланта» П. И. Чайковского.
В репертуар А. Ворошило вошли ведущие лирические и драматические баритональные партии классической и современной русской и западноевропейской оперы. Среди них — Елецкий и Томский в «Пиковой даме», Онегин в «Евгении Онегине» и Роберт в «Иоланте», Венецианский гость в «Садко» Н. А. Римского-Корсакова, Андрей Щелкалов в «Борисе Годунове» М. П. Мусоргского, ди Поза в «Доне Карлосе», Ренато в «Бале-маскараде» и Яго в «Отелло» Дж. Верди, Сильвио и Пролог в «Паяцах» Р. Леонкавалло, Эскамильо в «Кармен» Ж. Бизе, Скарпиа в «Тоске» Дж. Пуччини, Наполеон в «Войне и мире» и Фердинанд в «Обручении в монастыре», Алексей в «Повести о настоящем человеке» С. С. Прокофьева.
Большой успех принесло певцу исполнение партии Чичикова в опере «Мёртвые души» Р. К. Щедрина (1977).
Как и многие знаменитые баритоны — Муслим Магомаев, Юрий Гуляев и другие — Ворошило пел не только оперные партии. Он был желанным гостем на всех правительственных концертах.
В 1979 году с песней «Чета белеющих берёз» выступил на ежегодном фестивале «Песня-79».
В 1986 году с песней «Радость на свете жить» выступил на ежегодном фестивале «Песня-86».
В 1991 году, по другим данным, в 1992 году, Ворошило из-за болезни связок уходит со сцены.
С 1992 по 2000 год занимается предпринимательской деятельностью, возглавляет ООО «АДВА», специализирующееся на переработке мяса, производстве колбасных изделий.
В дальнейшем занимается административной деятельностью. Со 2 сентября 2000 года по март 2002 года занимает пост исполнительного директора ГАБТ России. С сентября 2002 по июнь 2003 года Ворошило — генеральный директор строящегося Московского международного дома музыки на Красных Холмах. С 2004 года возглавляет строительство многофункционального концертного зала в Барвихе.
С 2003 года Александр Ворошило ведёт класс сольного пения в МГК имени П. И. Чайковского.
Снимался в кино в фильмах В. В. Меньшова «Ширли-мырли» («Кузя, Шниперсонов поклонник») и «Зависть богов» (полковник КГБ).
Занимается благотворительной деятельностью, особенно помогает молодым музыкантам: вокалистам, музыкальным критикам.
В 2010 году известная радиоведущая Диана Берлин пригласила Александра Ворошило в свою программу «Мастера». Во время беседы она рассказала гостю, что недавно у неё был Дмитрий Хворостовский и что он является большим поклонником Ворошило. Александру Степановичу было очень приятно услышать эти слова, и он подчеркнул, что именно Дмитрий сейчас – «на линии огня», то есть он своим талантом защищает традиции российской оперы.
Последние годы Ворошило тесно связан с Концертным залом, который для краткости называют «Барвиха». Именно там дал один из последних в жизни концертов Дмитрий Хворостовский. Два замечательных баритона всегда высоко ценили друг друга.
В 2016 году Александр Ворошило был героем программы «Рождённые в СССР» с Владимиром Глазуновым на телеканале Ностальгия.