Дмитрий Куличков родился 3 июня 1979 года. Окончил Театральный факультет Саратовской государственной консерватории имени Собинова (мастерская народного артиста России, профессора Александра Галко) в 2001 году и Школу-студию МХАТ (курс Евгения Каменьковича) в 2004 году.
С 2004 года — артист театра п/р О. Табакова, также сотрудничает с Московским театром юного зрителя (играет в спектакле «Вкус мёда»), Московским художественным театром им. А. П. Чехова.
В кино дебютировал в главной роли в фильме «Шукшинские рассказы» (новелла «Ораторский приём»).
В настоящее время в МХТ им. А.П. Чехова играет в спектакле «Три сестры» А.П. Чехова (Вершинин).
Работал с режиссерами: Ю. Бутусов, Д. Петрунь, М. Карбаускис, А. Марин, С. Женовач, А. Шапиро, В. Петров, М. Брусникина, Т. Судзуки, Н. Скорик, А. Сигалова, К. Богомолов и др.
С 2019 года служит в труппе Театра на Бронной.
В текущем репертуаре: «Бесы Достоевского» Ф. Достоевского (Кириллов), «Бэтмен против Брежнева» С. Денисовой (Дудочкин), «Вишневый сад» (Лопахин), «Таня» (Игнатов).