Евгений Набоков родился 25 июля 1975 года в городе Усть-Каменногорск, Казахстан. С детства мальчик увлекся хоккеем. Являлся воспитанником Усть-каменогорской школы хоккея. В 1994 году подписал контракт с московским «Динамо» и уже в следующем году вместе с ней стал Чемпионом России. Показав отличные результаты, в 1997 году уехал в Северную Америку.
Первая игра в НХЛ состоялась 1 января 2000 года в составе «Сан-Хос Шаркз» против «Нэшвил Предаторс». Набоков заменил Стива Шилза и отбил все 4 броска. Первый гол пропустил 11 января в игре против «Сент-Луис Блюз» в момент, когда уезжал с площадки для выпускания шестого полевого игрока при розыгрыше отложенного штрафа.
Всего в этом сезоне Набоков участвовал в пятнадцати матчах Национальной Хоккейной Лиги, однако большей частью выходил на замену. Во втором матче сезона 2000-01 года получил травму основной вратарь «Шаркс» Стив Шилдз. Тренер Дэррил Саттер доверил ворота Набокову. Шансом, которого вратарь ждал так долго, воспользовался сполна.
Набоков является рекордсменом среди всех вратарей, выходцев из стран бывшего Советского Союза в Национальной Хоккейной Лиги, по количеству побед и сухих матчей в регулярных сезонах, а также сыгранных матчей, побед и сухих матчей в розыгрышах Кубка Стэнли. По количеству побед и сухих матчей входит в 20 лучших вратарей.
С 2006 года Евгений Набоков приглашался в национальную команду Российской Федерации. Через два года, на Чемпионате мира в Канаде завоевал золотую медаль турнира.
После сезона 2009-10 года у Набокова закончился контракт с «Шаркс». Не договорившись о новом контракте, 7 июля 2010 года подписал четырехлетний контракт с клубом КХЛ СКА, где, к сожалению, не смог показать выразительной игры и 13 декабря того же года по обоюдному согласию контракт расторгнут с официальной формулировкой «по семейным обстоятельствам».
Следующий контракт с командой «Детройт Ред Уингз» до конца сезона подписал 21 января 2011 года и в соответствии с регламентом НХЛ выставлен на драфт отказов, откуда вратаря забрал «Нью-Йорк Айлендерс». Однако Евгений отказался выступать за «островитян». В свою очередь руководство «Айлендерс» заблокировало контракт Набокова и для продолжения игры в НХЛ ему пришлось отработать этот контракт. Сезон 2011-12 года хоккеист начал в составе «Айлендерс», а по ходу сезона продлил контракт с клубом еще на год, закрепившись в составе основным вратарем. В 2013 году «Нью-Йорк Айлендерс» вновь продлил на год контракт с Набоковым.
Перед сезоном 2014-15 года россиянин подписал контракт с «Тампа Бэй Лайтнинг», однако в начале 2015 года выставлен на драфт отказов, а 9 февраля 2015 обменян в «Сан-Хосе Шаркс». Через два дня, 11 февраля 2015 года Евгений Набоков объявил о завершении карьеры.
С 2015 по 2019 год Набоков работал скаутом и тренером по развитию вратарей в «Сан-Хосе Шаркс». После отставки канадца Питера Дебура с поста главного тренера команды, Евгений Викторович Набоков вошел в обновленный тренерский штаб и 11 декабря 2019 года назначен на пост тренера вратарей клуба «Сан-Хосе».