Константин Бромберг родился 17 октября 1939 года в городе Харьков, Украина. С 1958 по 1959 год являлся корреспондентом Агентства печати «Новости». Позднее стал режиссером на Воркутинской студии ТВ. В 1965 году окончил сценарный факультет Всероссийского государственного института кинематографии имени С. А. Герасимова.
Бромберг работал режиссером телевидения. Изначально снимал документальное кино, в частности, «Сказание о русской земле». Создал цикл телефильмов о дирижерах Евгении Мравинском и Герберте фон Караяне, о герое Кавказской и Крымской войн генерале Иване Малхазовиче Андроникове.
Далее Константин Бромберг стал режиссером-постановщиком и художественным руководителем студии детских и юношеских телефильмов творческого объединения «Экран».
В 1973 году Константин Леонидович снял фильм «Был настоящим трубачом», основанный на реальных событиях. Лента рассказывает о маленьком коммунаре, питерском Гавроше, девятилетнем актере-агитаторе Коте Мгеброве-Чекане, убитом контрреволюционерами и торжественно похороненном в Петрограде на Марсовом поле рядом с героями революции.
В 1975 году режиссер представил ленту «У меня есть лев» на основе реальных фактов из жизни семьи бакинского архитектора Берберова, которая в домашних условиях воспитывала льва Кинга. В картине снялись члены семьи Берберовых - Рома, Ева, Лев и Нина.
В 1979 году на экраны вышел суперпопулярный детский фильм «Приключения Электроника», снятый по мотивам фантастических повестей Евгения Велтистова «Электроник - мальчик из чемодана» и «Рэсси - неуловимый друг». Музыкальная лента об удивительных приключениях мальчика и его двойника - электронного робота, желающего узнать, что значит «быть человеком».
В 1982 году Бромберг стал лауреатом Государственной премии СССР за фильм «Приключения Электроника». В том же году вышел очередной шедевр режиссера - новогодняя музыкальная комедия «Чародеи» по сценарию братьев Стругацких, в которой Ивану Пухову, в исполнении Александра Абдулова, приходится спасать свою заколдованную возлюбленную Алену Санину, которая работает в Институте волшебства.
В 1989 году Константин Бромберг снял несколько выпусков журнала «Ералаш» - «Фирменное блюдо», «Прямая передача» и «Выборы».
В 1980-е годы Константин Леонидович сотрудничал с американской телекомпанией CNN. Впоследствии переехал в Соединенные Штаты на постоянное место жительство. Жил в в Детройте, уже не занимаясь кинематографом.
Константин Леонидович Бромберг умер 10 января 2020 года в возрасте восьмидесяти лет.