Алексей Патрикеев родился 24 января 1960 года в городе Пензе. В 1983 году закончил МВТУ им. Н.Э. Баумана по специальности «Автоматические информационные устройства». Кандидат экономических наук.
С 1983 по 2015 гг. работал в АО «Лыткаринский завод оптического стекла» на различных должностях. В разные годы, начиная с 2003 года, возглавлял ведущие предприятия оптической отрасли, входящие в Холдинг «Швабе», - АО «Лыткаринский завод оптического стекла», АО «Научно-исследовательский и технологический институт оптического материаловедения Всероссийского научного центра «Государственный оптический институт им. С.И. Вавилова», ПАО «Красногорский завод им. С.А. Зверева».
В марте 2016 года Алексей Павлович назначен генеральным директором Холдинга «Швабе».