Антон Кобяков родился 23 июня 1968 года в городе Уфа, Республика Башкортостан. После школы, в 1990 году с отличием окончил Российский государственный аграрный университет имени Тимирязева. Второе высшее образование получил Московском горном институте Национального исследовательского технологического университета. Также имеет диплом Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации.
Защитив в 1994 году в Российском государственном аграрном университете имени Тимирязева диссертацию по теме: «Оценка влияния некоторых агроруд на биологическую активность системы почва-растение», получил ученую степень кандидата биологических наук. Позднее, защитил диссертацию в Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте России на тему: «Эффективность государственного управления социально-экономическим развитием угледобывающего региона» и стал «доктором экономических наук».
С 1996 года на протяжении трех лет являлся помощником депутата Государственной думы II созыва, заместителя председателя комитета по энергетике, транспорту и связи Владимира Катальникова, члена депутатской группы «Российские регионы».
Параллельно, Кобяков входил в комитет Российского независимого профсоюза работников угольной промышленности. В 1999 году стал членом центрального совета Общероссийской политической общественной организации «Отечество» мэра Москвы Юрия Лужкова.
В октябре 1999 года Антон Анатольевич включен в федеральный список кандидатов в депутаты Государственной Думы III созыва, выдвинутый избирательным блоком «Отечество - Вся Россия», который возглавляли бывший премьер-министр России Евгений Примаков и Юрий Лужков. Через месяц вошел в федеральный список кандидатов в депутаты Госдумы III созыва от избирательного блока Межрегионального движения «Единство» (лидер - Сергей Шойгу, позднее на основе блока создана партия «Единая Россия»). Выбыл из обоих списков до их регистрации.
Кобяков с 1999 по 2003 год являлся заместителем губернатора Кемеровской области Амана Тулеева по международным отношениям и связям с общественностью. Одновременно был его доверенным лицом на досрочных выборах Президента России. Входил в Центральную избирательную комиссию РФ с совещательным голосом, представитель кандидата Тулеева.
Антон Анатольевич 7 декабря 2003 года баллотировался в депутаты Государственной Думы России IV созыва по списку политической партии «Единая Россия». Избирался под номером девять в Центрально-Сибирской региональной группе. В Думу избран не был.
До 2005 года Антон Кобяков занимал пост заместителя секретаря политического совета кемеровского регионального отделения партии «Единая Россия». Параллельно, являлся заместителем генерального директора открытого акционерного общества «Объединенная угольная компания «Южкузбассуголь».
В 2005 году перешел на работу в Администрацию Президента России. До 2012 года занимал должности главного советника, начальника департамента, заместителя начальника Управления президента по внешней политике. С 6 ноября 2012 по 11 апреля 2014 год руководил Канцелярией президента Российской Федерации Владимира Путина, сменив на посту Николая Константинова.
С 11 апреля 2014 года Антон Кобяков является советником Президента России Владимира Путина. Курирует вопросы организации международных мероприятий с участием главы государства. Переназначен на эту же должность 13 июня 2018 года.
Кобяков имеет чин Действительного государственного советника России первого класса. Вместе с Владимиром Катальниковым выступает соавтором книги «Уголь и шахтеры в государстве российском. Экономический и социально-исторический аспекты».
Женат. Имеет двоих детей.