Александр Пошивай родился 24 августа 1958 года в городе Санкт-Петербург. После школы, в 1981 году, молодой человек окончил Санкт-Петербургский государственный университет морского и речного флота по специальности «судовождение на морских путях» с присвоением квалификации «инженер-судоводитель». Позднее, получил дополнительное образование, успешно окончив Санкт-Петербургский университет МВД России с присвоением квалификации «Экономист».
В апреле 1981 года приступил к работе на судах Балтийского морского пароходства, расположенного в городе Санкт-Петербург. С января 1992 года Александр Иванович продолжил работу в коммерческих предприятиях туристической индустрии, связанной с обеспечением морского круизного судоходства, где занимал различные руководящие должности.
С 2008 по 2009 год Пошивай являлся советником в Федеральном агентстве по рыболовству в городе Москва. На протяжении следующего года занимал должность начальника Административного управления Федерального агентства по государственным резервам. В июне 2010 года назначен на пост заместителя руководителя Управления Росрезерва по Северо-Западному федеральному округу города Санкт-Петербург. Являлся заместителем начальника Управления обеспечения судоходства Федерального агентства морского и речного транспорта: Росморечфлот. В марте 2011 года назначен начальником Управления обеспечения судоходства Росморречфлота.
Приказом Министра транспорта Российской федерации от 3 декабря 2012 года № 1641/к назначен заместителем руководителя Федерального агентства морского и речного транспорта. Координирует и контролирует деятельность отдела мобилизационной подготовки и гражданской обороны, специального отдела и отдела государственной службы и кадров.
Указом Президента России Владимира Владимировича Путина №169 от 16 апреля 2019 года Александру Ивановичу Пошиваю присвоен государственный классный чин «Действительный советник Российской Федерации второго класса».
Распоряжением председателя Правительства Российской Федерации Дмитрия Анатольевича Медведева № 2801-р от 26 ноября 2019 года Александр Пошивай назначен временно исполняющим обязанности руководителя Федерального агентства морского и речного транспорта.
Александр Пошивай 6 марта 2020 года распоряжением премьер-министра Михаила Мишустина назначен руководителем Федерального агентства морского и речного транспорта - Росморречфлот.
Женат, имеет троих детей.