Алексей Ананьев родился 24 августа 1964 году в городе Москва. После школы, в 1987 году окончил Московский институт иностранных языков имени Мориса Тореза по специальности «переводчик-референт». Став дипломированным специалистом до 1989 года работал переводчиком с португальского в Комитете молодежных организаций СССР.
Далее, с 1987 по 1992 год работал заместителем генерального директора советско-датского совместного предприятия «Техносерв». С 1992 года Ананьев создал и стал председателем совета директоров, председателем Консультативного Совета «Техносерв А/С». На тот момент компания занималась импортом подержанных ЭВМ, в основном производства IBM.
В 1995 году вместе с братом, Дмитрием Ананьевым создает «Промсвязьбанк». Параллельно, с 1998 года на протяжении четырех лет входил в Совет директоров ОАО «Тамбовмясопродукт». Помимо этого до 2003 года являлся членом Совета директоров ЗАО ТД «Минск» и Совета директоров открытого акционерного общества «Пневмостроймашина».
В 2002 году Алексей Николаевич защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата технических наук в Московском техническом университете связи и информатики под руководством профессора Юрия Воронцова. Тема диссертации «Разработка и исследование математических моделей и методик расчета показателей качества функционирования корпоративных сетей региональных операторов связи». Через три года Алексей Ананьев получил степень Executive MBA в бизнес-школе Чикагского университета.
Алексей Николаевич в 2006 году занял должность председателя совета директоров «Промсвязьбанка».
В 2011 году Ананьев открыл музейно-выставочный комплекс Институт русского реалистического искусства. Основу собрания и первой экспозиции составила личная коллекция картин бизнесмена.
В феврале 2013 года опытный управленец покинул «Техносерв» и назначен генеральным директором ОАО «Системы управления».
В 2017 году Центральный Банк Российской Федерации начал процесс санации «Промсвязьбанка» и в 2018 году Алексей Ананьев лишился контроля над этой финансовой организацией. В это же время занял пост Генерального директора «Техносерва».
В мае 2019 года на активы Дмитрия и Алексея Ананьевых наложен судебный арест. Процедуру осуществил арбитражный суд Москвы после подачи «Промсвязьбанком» соответствующего заявления, ставшего частью процедуры по возврату банком и ЦБ своих активов, которые выведены братьями-бизнесменам.
Институт русского реалистического искусства, основанный по инициативе Алексея Николаевича Ананьева 4 июня 2019 года объявил о закрытии после ареста имущества предпринимателя.
Алексей Ананьев 26 июля 2019 года продал за «символическую» сумму в 1000 евро кипрскую компанию Anavoya Holdings Limited, через которую владел 10,01% ИТ-интегратора «Группа Техносерв». Покупателем стала Contemporary Solutions c Британских Виргинских островов.