Константин Пашков родился 28 августа 1976 года в городе Пушкино, Московская область. После школы в 1994 году с отличие окончил Московский медицинский колледж при Центральной Клинической Больнице № 4 имени Николая Семашко Министерства Путей и Сообщений Российской Федерации. Затем также с отличием окончил Московский государственный медико-стоматологический университет. Прошел переподготовку в Московском государственном университете имени Михаила Ломоносова.
Позднее, Константин Анатольевич получил диплом Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации по программе подготовки высшего уровня резерва управленческих кадров.
С 1999 года на протяжении трех лет работал начальником пресс-службы Московской железной дороги. Затем один год занимал пост советника Министра путей сообщения России.
В 2002 году защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата медицинских наук по специальностям «внутренние болезни» и «общественное здоровье и здравоохранение». Через два года избран доцентом по кафедре истории медицины, а затем стал профессором. Далее защитил диссертацию на соискание ученой степени доктора медицинских наук по теме «Зубоврачевание и стоматология России IX-XX веков. Основные этапы и направления развития».
Пашков является создателем и главным редактором первого профессионального интернет-сайта по истории медицины. Открыл Музей истории медицины и стоматологии в Московском государственном медико-стоматологическом университете.
В 2003 году Константин Пашков назначен начальником Федерального государственного унитарного предприятия «Центр по взаимодействию со СМИ и рекламе Министра путей сообщения Российской Федерации.
Затем, до 2005 года являлся начальником Департамента по связям с общественностью Открытого Акционерного Общества «Российские железные дороги».
С 2005 года в течении шести лет Пашков занимал должность советника Министра транспорта, заместителя директора Департамента управления делами.
Указом Министра Транспорта России от 2 февраля 2011 года Пашков Константин Анатольевич назначен директором Административного департамента Министерства Транспорта России.
Кроме этого Константин Анатольевич является Председателем Российского общества историков медицины; Ответственным секретарем совета по развитию историко-медицинских музеев при Министерстве здравоохранения России. Параллельно занимает должность руководителя Центра развития историко-медицинских музеев России, а также является научным руководителем Российского музея медицины.
Пашков входит в различные медицинские ассоциации: руководитель профессиональной секции Стоматологической ассоциации России по истории стоматологии; член президиума Общества врачей России; член Правления Московского научного общества историков медицины; член Международного общества историков медицины; член Европейской ассоциации медицинских музеев; член Международной ассоциации музеев; член редколлегии журнала «История медицины»; член редколлегии журнала «Acta medico-historica rigensia»; член редколлегии научно-практического журнала «Форум стоматологии» DentalForum.
Женат, воспитывает сына и дочь.