Родился 28 августа 1972 года в Курске.
Отец — Геннадий Васильевич Дюмин, военный медик, генерал, начальник 4-го управления Главного военно-медицинского управления Министерства обороны (с августа 2013 года), входивший в 1990-е годы в ближайшее окружение министра обороны Российской Федерации (1992—1996) Павла Грачёва. Ранее возглавлял ООО «Д энд Д Фарма» и был контактным лицом по ряду тендеров на поставку лекарств и химикатов для 2-го Центрального военного клинического госпиталя им. П. В. Мандрыка.
Младший брат — Артём Дюмин, бизнесмен. Руководит ОАО «ТПК „Продмаркет“» (единственный подрядчик и застройщик гостиницы «Зарядье») и ООО «Турбо» (один из акционеров «Продмаркета»), гендиректор СК «Олимпийский» (2014—2019). Учредитель ООО «МФК» и ООО "Фирма «Литэкс-с».
Мать работала учителем. В детстве семья жила также в Калуге, Воронеже, куда перевели отца. Жили трудно, ютились в съемных квартирах, одно время — даже в подвале военного госпиталя в Калуге. В Воронеже в четвёртом классе начал заниматься хоккеем, там же окончил школу.
В 1994 году окончил Воронежское высшее военное инженерное училище радиоэлектроники (ВВИУРЭ). Был распределён в Московский военный округ, в небольшую войсковую часть, которая занималась противодействием техническим средствам разведки противника.
В 1995 году начал службу в ФСО России, в управлении президентской связи в Главном управлении охраны. Работал с Борисом Ельциным и Виктором Черномырдиным. Сопровождал их в поездках по стране и за рубеж — обеспечивал связь.
С 9 августа 1999 года — служба в Службе безопасности президента. Был офицером охраны в Службе безопасности президента в период первого и второго президентства Владимира Путина.
В 2007 году, после назначения председателем Правительства Виктора Зубкова, стал начальником его охраны.
Когда Правительство возглавил Владимир Путин, Дюмин стал его личным адъютантом. В какой-то период одновременно с работой адъютантом Дюмин стал совмещать должность начальника управления СБП — сотрудники этого подразделения были личной охраной Путина. Сам Дюмин отрицал, что когда-либо был у Путина адъютантом.
В 2009 году в Российской академии государственной службы при президенте Российской Федерации защитил кандидатскую диссертацию на тему «Политические аспекты глобального регулирования в рамках сотрудничества стран „группы восьми“», кандидат политических наук.
В 2012 году — заместитель начальника управления Службы безопасности президента России ФСО России. В 2014 году — заместитель начальника ГРУ, командующий силами специальных операций России, которые сыграли одну из ключевых ролей в операции по присоединению Крыма к России, о чём говорится в фильме «Крым. Путь на Родину» Андрея Кондрашова. По данным газеты «Коммерсантъ», Дюмин разработал и провёл операцию по экстренной эвакуации в Россию президента Украины Виктора Януковича в ночь на 23 февраля 2014 года. Сам Дюмин назвал это мифами и отказался от комментариев.
С 2015 года — начальник Главного штаба Сухопутных войск — первый заместитель главкома Сухопутных войск (сменил генерал-полковника Сергея Истракова). 11 декабря 2015 года присвоено воинское звание генерал-лейтенанта. В декабре 2021 года закрытым указом Президента РФ Дюмину Алексею Геннадьевичу присвоено очередное воинское звание «генерал-полковник».
24 декабря 2015 года указом президента России назначен заместителем министра обороны России и вошёл в состав коллегии Министерства обороны. На этой должности курировал боевую подготовку, а также экономику ведомства — департамент строительства, обеспечение жильём военнослужащих, военную медицину, департамент имущественных отношений. Находился в должности один месяц.
Своим наставником, человеком, которому обязан карьерой, опытом и развитием личностного потенциала Дюмин всегда называл Виктора Золотова.