Алексей Чекунков родился 3 октября 1980 года в городе Минск, Беларусь. В 2001 году окончил Московский государственный институт международных отношений, получив степень бакалавра экономики. Владеет несколькими иностранными языками, а именно английским и французским.
С 2002 по 2003 год занимал пост директора проектов в инвестиционной группе «АЛРОСА», где участвовал в консолидации ряда золотодобывающих активов в Республике Саха. Благодаря Чекункову совершен ряд успешных инвестиций в горнодобывающей отрасли в России и Азии.
В 2003 году занимал должность специалиста, а затем - вице-президента в «Delta Private Equity» - одной из ведущих компаний прямых инвестиций в России.
Через три года Александр Олегович являлся управляющим директором в инвестиционной компании «Объединенная золотая компания». В 2009 году, в течении двух лет являлся руководителем собственной инвестиционной компании «New Nations Capital».
Далее, Алексей Чекунков работал в должности директора, затем назначен членом правления и инвестиционного комитета в Российском Фонде прямых инвестиций. Отвечал за инвестиции в здравоохранение, энергосбережение, сырьевой сектор, участвовал в создании Российско-китайского инвестиционного фонда с капиталом $2 млрд долларов.
Возглавил Фонд развития Дальнего Востока и Байкальского региона 26 сентября 2014 года.
В 2020 году стал министром РФ по развитию Дальнего Востока и Арктики.