В четыре года остался без отца: тридцатишестилетний актёр Владимир Клюев на гастролях слёг с сердечным приступом и умер в больнице. Овдовев в 29 лет, мать Бориса больше не вышла замуж из-за неприязни сына к любому мужчине.
Из-за тяжёлого материального положения в семье Борис был вынужден рано начать зарабатывать: с 13 лет разгружал вагоны, с 16 лет работал на стройке.
Клюев не был прилежным учеником и от окончательного падения его спасла актриса Клавдия Половикова, мама актрисы Валентины Серовой, которая поставила в школе спектакль «Чёртова мельница», где Борис сыграл «чёрта первого разряда».
После окончания школы поступил в Театральное училище имени Щепкина. Закончив первый курс, ушёл в армию, где прослужил три года. Во время армейской службы принимал участие в массовке на съёмках фильма Сергея Бондарчука «Война и мир». Также во время службы у Бориса была возможность принимать участие в самодеятельности. После демобилизации вернулся на второй курс в театральное училище (мастерская В.И. Цыганкова и Л. А. Волкова), которое окончил в 1969 году. Был секретарём комсомольской организации училища. Учась на четвёртом курсе, стал подрабатывать в массовках спектаклей Малого театра, и после окончания училища получил приглашение в этот театр. В первое время играл совсем небольшие роли в спектаклях «Дипломат», «Стакан воды», «Власть тьмы», «Ярмарка тщеславия», «Разбойники» и других. Уже через год получил более серьёзную роль — архитектора Сергея Синицы в постановке «Так и будет», после чего о нём заговорили как о талантливом начинающем артисте. За годы работы в Малом театре Борис Клюев сыграл более семидесяти ролей. Среди постановок с его участием — «Гроза», «Без вины виноватые», «Горе от ума», «Сирано де Бержерак», «Преступная мать, или Второй Тартюф», «Король Лир», «Горячее сердце», «Царь Иоанн Грозный», «Делец», «Корсиканка», «Волки и овцы», «Последняя жертва» и многие другие.
В 2010 году за блестящее исполнение роли Людовика Великого в спектакле «Мольер» по пьесе М. А. Булгакова «Кабала святош» Борис Клюев был удостоен премии журнала «Театрал» — «Звезда Театрала».
В кино Борис Клюев дебютировал в 1968 году, ещё будучи студентом театрального училища. Он сыграл роль патрульного в фильме «Каратель». Затем ему предложили более крупную роль — министра Временного правительства Василия Шульгина в кинокартине «Крушение империи».
Известность Клюеву как киноактёру принесла роль графа Рошфора в музыкальной телеэпопее режиссёра Георгия Юнгвальд-Хилькевича «Д’Артаньян и три мушкетёра».
В начале 1980-х актёр снялся в ряде фильмов из серии «Приключения Шерлока Холмса и доктора Ватсона», сыграв Майкрофта Холмса, брата знаменитого сыщика. Популярность же к Борису Клюеву пришла с фильмом «ТАСС уполномочен заявить…», где ему досталась роль шпиона Трианона. Актёр исполнил её так мастерски, с таким «злодейским» обаянием, что цензоры решили её существенно урезать. Но даже в таком урезанном виде Клюев сумел покорить сердца миллионов людей.
С начала 90-х годов XX века и до настоящего времени (2019 год) артист достаточно часто снимается в телесериалах (например, сыграл герцога де Гиза в историко-приключенческих сериалах «Королева Марго» и «Графиня де Монсоро»).
Самой известной и полюбившейся зрителям ролью последнего времени стал Николай Петрович Воронин в ситкоме «Воронины».
Ещё одной гранью таланта Бориса Клюева является дублирование иностранных фильмов. Его голосом говорят многие персонажи блокбастеров и мультфильмов заграничного производства.
Ещё с 1969 года (с перерывом) Борис Владимирович начал преподавать в Театральном училище имени Щепкина. Его специализация — «Мастерство актёра». В настоящее время он является художественным руководителем двух курсов ВТУ (института) имени М. С. Щепкина, имеет звание профессора. Помимо этого, он является Президентом футбольной команды Малого театра и одним из основателей Театральной футбольной лиги.