Леонид Ставицкий родился 8 июля 1958 года в городе Москва. После школы, в 1982 году окончил Московский государственный строительный университет по специальности «Промышленное и гражданское строительство». Позднее, получил диплом Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации по специальности «Государственное и муниципальное управление».
После окончания вуза первые три года работал мастером в Управлении начальника работ № 69683. Впоследствии, стал главным инженером одного из крупнейших государственных строительных трестов «Бюробинстрой», где работал до 1997 года. В этот период принимал участие в строительстве объектов Министерства обороны и Министерства иностранных дел на территории всего Советского Союза, а также за рубежом.
С 1997 по 1998 год Ставицкий являлся заместителем начальника управления недвижимостью департамента управления делами открытого акционерного общества «Объединенный экспортно-импортный банк» ОНЭКСИМ банк. Впоследствии, на протяжении двух лет занимал должность генерального директора Инжиниринговой фирмы «Робин».
Леонид Оскарович, в 2000 году назначен Первым заместителем Министра строительства Правительства Московской области. Курировал жилое строительство на региональном уровне, строительство сооружений для спортивных целей и осуществление планов по прокладке газовых сетей для нужд жителей. Контролировал процессы возведения социально важных для области объектов, координировал деятельность учреждений государственной экспертизы.
Наибольшего успеха Ставицкий добился во время работы в городе Звенигород, Московской области. С 2002 года руководил территориальным исполнительным органом Государственной власти Московской области на территории города. С 2003 по 2013 год Леонид Оскарович возглавлял городской округ Звенигород.
Ставицкий выигрывал выборы дважды. В 2003 году за его кандидатуру проголосовали около 60% избирателей, а в 2007 году поддержка действующего мэра составила уже свыше 80%. В третий раз Леонид Оскарович утвержден в должности мэра в 2011 году. В этот раз выборы уже не проводились, а кандидатуру политика выдвинула партия «Единая Россия».
За десять лет эффективной работы экономическая составляющая города заметно повысилась. В Звенигороде Ставицкий инициировал множество строек. Так, при нем в городе строились новые жилые дома, больницы, школы и спортивные объекты. Работа главы запомнилась еще и тем, что активно работал с инвесторами. Ставицкий Леонид Оскарович сумел привлечь новые инвестиции. Заручившись финансовой поддержкой, мэр начал проводить политику активной застройки. В городе построили новый Дворец спорта, Академию дзюдо и прочие важные объекты, которые являются визитной карточкой Звенигорода.
В декабре 2013 года Ставицкий занял новую должность. Опытного управленца назначили Первым заместителем Министра строительства и жилищно-коммунального хозяйства Российской Федерации. На своем посту курировал работу Административно-кадрового департамента и Департамента разрешительной деятельности и контроля. Отвечал за возведение домов для людей, потерявших жилье во время экологических и техногенных катастроф, осуществлял координационную деятельность работы подразделений Министерства.
Ставицкий также занимался вопросами строительства космодрома «Восточный» в Амурской области. Параллельно занимал должность главы специализированной надзорной комиссии, в которую входили сотрудники ведомств. Также являлся членом комитета, отвечающий за подготовку к юбилею города Улан-Удэ. Помимо этого, Леонид Оскарович увлекается рыбалкой, времяпрепровождением на природе с семьей, игрой на гитаре.
Премьер-министр Дмитрий Медведев 31 октября 2019 года освободил Леонида Ставицкого от занимаемой должности в связи с переходом на новую работу. Функции первого заместителя будут перераспределены между заместителями министра до нового назначения.
В начале ноября 2019 года назначен на должность генерального директора АО «Тувинская энергетическая промышленная корпорация» (АО «ТЭПК»), в связи с началом активной фазы строительства первой в республике Тыва железной дороги железной дороги «Элегест – Кызыл – Курагино». Владелец АО «ТЭПК» Руслан Байсаров в связи с назначением охарактеризовал Ставицкого как «настоящего профессионала, обладающего огромным опытом.