Александр Лебзяк родился 15 апреля 1969 года в Донецке. Через год его семья переехала в посёлок Буркандья Магаданской области, где он начал заниматься боксом под руководством Василия Денисенко. В 1985 году продолжил занятия боксом в ДЮСШ Магадана, где его стал тренировать Геннадий Рыжиков. В 1987 году получил приглашение в юниорскую сборную СССР и выиграл чемпионат мира среди юниоров. В 1988 году вошел в состав национальной сборной СССР, участвовал в предолимпийском турнире, в 1990 году становится чемпионом СССР, призёром чемпионата Европы и чемпионата мира, в 1991 году выиграл Спартакиаду народов СССР, Кубок СССР. В 1992 году в составе Объединённой команды принимал участие в Олимпийских играх в Барселоне. За несколько недель до Олимпиады из-за интенсивной сгонки веса у него лопнуло лёгкое. Тогда он смог быстро восстановиться, но дальше второго круга ему пройти не удалось. Подобноe повторилось и на Олимпийских играх в Атланте (1996), когда во время первого боя у него случился рецидив, снова лопнуло лёгкое.
После неудачного выступления на Олимпиаде в Атланте Александр Лебзяк принял решение сменить весовую категорию и перейти из второго среднего веса в полутяжёлый вес. В новой весовой категории он доминировал на протяжении всего следующего олимпийского цикла, становился чемпионом мира, дважды выигрывал чемпионат Европы. При подготовке к отборочному чемпионату России 1999 г., Лебзяк перетренировался и у него опять лопнуло лёгкое, из за чего ему не удалось стать победителем. Тем не менее он поехал на свою уже третью Олимпиаду и завоевал золотую медаль Олимпийских игр в Сиднее (2000).
Став обладателем всех титулов в любительском боксе, в сентябре 2001 года Александр Лебзяк провёл один бой на профессиональном ринге в Ташкенте, в котором победил нокаутом джорнимена американца Стэйси Гудсона. Однако от продолжения профессиональной карьеры отказался и предпочёл перейти на тренерскую работу.
В 2003 году в составе команды звёзд спорта принял участие в телепередаче «Сто к одному» (выпуск на телеканале «Россия» от 21 декабря 2003 года).
В 2002—2004 годах был главным тренером ЦСКА по боксу, а с 2005 по 2008 годы руководил тренерским штабом национальной сборной России. В 2008 году вернулся к работе в ЦСКА, в 2010 году избран президентом федерации бокса Москвы, а в 2012 году назначен советником руководителя Департамента физической культуры и спорта правительства Москвы.
С 2013 года вновь возглавил тренерский штаб сборной России по боксу. В 2015 году на чемпионате мира в Катаре был признан лучшим тренером мира по версии международной боксерской ассоциации AIBA.
По итогам Олимпиады 2016 года в Рио-де-Жанейро российская сборная завоевала всего одну золотую и три бронзовые медали. У тренера сборной России Александра Лебзяка были разногласия с президентом Федерации бокса России Борисом Иванюженковым, из-за которых он хотел уйти из сборной ещё до Олимпиады, однако его отговорил Виталий Мутко. В сентябре Александра Лебзяка отстранили от должности главного тренера сборной России. Место главного тренера занял Олег Владимирович Меньшиков. Лебзяк был крайне недоволен составом выступающих боксёров олимпийской сборной и критически высказался в адрес федерации бокса.