Борис Ким родился 18 июля 1963 года в городе Ургенч, Узбекистан. В 1985 году окончил факультет химии в Московского государственного университета имени. Ломоносова. Позднее получил дополнительное образование во Всероссийском заочном финансово-экономическом институте по специальности «Финансы и кредит».
Трудовую деятельность Ким начал после окончания. Занял пост финансового директора российского подразделения группы компаний TJ Collection. В 1999 году открыл собственную компанию E-port по продаже предоплаченных скретч-карт для пополнения счета мобильного телефона. Являлся президентом компании.
Затем Борис Ким получил диплом юриста в Московской государственной юридической академии. Позднее завершил обучение на факультете психологии и факультете философии Московского государственного университета имени Ломоносова. Здесь же защитил диссертацию. Кандидат химических наук.
Впоследствии Борис Борисович являлся советником председателя правления банка «Церих» и входил в совет директоров банка. В период с 2010 по 2013 год занимал пост советника в аппарате президента закрытого акционерного общества «ОСМП».
Позднее Ким стал членом совета директоров группы QIWI. С 2014 года является председателем совета директоров QIWI. С 2018 года входит в совет директоров Киви Банка и возглавляет совет директоров кредитной организации.