Олег Савельев родился 27 октября 1965 году в городе Санкт-Петербург. После школы, в 1988 году окончил радиофизический факультет 1988 году Савельев стал выпускником радиофизического факультета Санкт-Петербургского государственного политехнического университета.
В 1995 году работал руководителем Центра избирательных технологий в предвыборном штабе общественно-политического движения «Наш дом - Россия» во время выборов в Государственную Думу. Через год, во время президентской избирательной кампании входил в предвыборный штаб партии в качестве главного «PR-технолога». В 1998 году являлся руководителем кампании Александра Лебедя на выборах главы администрации Красноярского края. До 1999 года занимал пост заместителя председателя правления Московского фонда президентских программ.
На протяжении следующих нескольких лет работал внештатным советником главы Министерства экономического развития России, занимался федеральными целевыми программами. Одновременно, выступал генеральным директором агентства «PR-система» и руководителем экспертной группы фонда «Центр стратегических разработок».
С августа 2008 года на протяжении шести лет Савельев занимал пост заместителя министра экономического развития Российской Федерации.
С 31 марта 2014 по 15 июля 2015 года Олег Генрихович являлся министром по делам Республики Крым, из-за чего оказался включен в санкционный список США.
Олег Савельев 15 июля 2015 года назначен заместителем Руководителя Аппарата Правительства Российской Федерации. Параллельно входил в комиссию по делам Крыма и Севастополя.
С 2018 по 2019 год являлся руководителем аппарата Счетной Палаты Российской Федерации.
По представлению Президента России Владимира Путина 25 сентября 2019 года Олег Генрихович Савельев, Советом Федерации Федерального Собрания Российской Федерации назначен на должность аудитора Счетной палаты России.
Женат, воспитывает сына и дочь.