Андрей Слепнев родился 13 сентября 1969 года в городе Бор, Нижегородская область. После школы, в 1992 году с отличием окончил Нижегородский государственный университет имени Лобачевского по специальности «Прикладная математика». Через шесть лет получил диплом Московского государственного университета имени Ломоносова по специальности «Юриспруденция».
В сфере страхования Слепнев начал работать с 1996 года, когда в течении двух лет являлся сотрудником открытого акционерного общества СК «РОСНО». С 1998 по 2002 год трудился в ОСАО «Ингосстрах». В августе 2002 года избран генеральным директором Российского Союза Автостраховщиков. В 2003 году занял должность заместителя генерального директора координационного совета объединений работодателей России.
С февраля 2005 по октябрь 2007 года занимал должность начальника департамента Администрации Президента России по сопровождению приоритетных национальных проектов.
С октября 2007 по май 2009 года являлся заместителем министра сельского хозяйства РФ. Андрей Слепнев 8 мая 2009 года назначен на пост заместителя министра экономического развития России.
В начале 2012 года занял пост министра по торговле Евразийской экономической комиссии. Полномочия Андрея Александровича на посту министра ЕЭК закончились в начале февраля 2016 года, когда к своим обязанностям приступил обновленный состав комиссии. С 26 февраля по июль 2016 года являлся помощником Председателя Правительства России.
Андрей Слепнев, 5 июля 2016 года назначен на должность заместителя Руководителя Аппарата Правительства России - директора Департамента проектной деятельности Правительства России.
Премьер-министр России Дмитрий Медведев 3 мая 2018 года освободил Андрея Слепнева от должности заместителя руководителя аппарата правительства.
Через пять дней, с 8 мая 2018 года Андрей Александрович Слепнев приступил к обязанностям Руководителя Группы компаний Российского экспортного центра.
Руководитель РЭЦ Андрей Слепнев 5 ноября 2019 года встретился с премьер-министром России Дмитрием Медведевым. В ходе беседы доложил о результатах работы центра за девять месяцев, в частности, о поддержке экспорта предприятий в сфере машиностроения, легкой промышленности, агропромышленного комплекса, производства минеральных удобрений.
Женат, воспитывает дочь.