Александр Несис родился 19 декабря 1962 года в Ленинграде.
В 1985 году окончил Ленинградский Технологический институт им. Ленсовета по специальности «Радиационная химия».
По окончании института с 1985 по 1989 годы работал по специальности на «Балтийском заводе», одной из старейших (основана в 1856 году) и крупнейших судостроительных верфей России, на которой строились различные типы кораблей, включая атомные ледоколы и подводные лодки. Прошел путь от мастера до заместителя начальника цеха.
В начале 1990-х Александр Несис уволился с должности замначальника цеха «Балтийского завода» и ушёл в частный бизнес. В интервью Forbes он говорит, что его первые шаги были связаны с предприятиями атомной промышленности, с которыми он установил деловые взаимоотношения: «Был однокурсник родом из Навои (Узбекистан). Он познакомил с директором рудоуправления № 5 Ленинабадского горно-химического комбината». Из отходов добычи урана Несис получал редкие металлы.
В 1991 году Александр Несис с группой единомышленников создал и возглавил бизнес-структуру, которая в 1993 году оформилась как группа «ИСТ» («Инвестиции, Строительство, Технологии»). В этом же году на открытом приватизационном конкурсе ИСТ приобрел контрольный пакет акций АООТ «Балтийский завод», и Александр Несис вернулся на завод в качестве контролирующего акционера и председателя Совета директоров. С момента создания и до момента реструктуризации в 2013 году Александр Несис возглавлял Группу ИСТ, являясь ее президентом. За это время группой были реализованы инвестиционные проекты по созданию компаний-лидеров в стратегических отраслях, включая производителя драгоценных металлов «Полиметалл», производителя грузовых железнодорожных вагонов «Объединенную вагонную компанию», НОМОС-банк.
Родной брат, Виталий Несис, с 2003 года и по настоящее время возглавляет компанию «Полиметалл».
Александр Несис женат, имеет 5 детей.