После окончания Московского инженерно-физического института в 1974 году А.А. Солдатов поступил работать в ИАЭ имени И.В. Курчатова. В 1979 году защитил кандидатскую, а в 1986-м — докторскую диссертацию. Алексей Анатольевич является одним из ведущих теоретиков в области электронной структуры вещества и ядерно-электронных процессов. Автор более 50 научных статей, которые получили широкую известность и признание как в стране, так и за рубежом.
А.А. Солдатов провел последовательный теоретический анализ процесса конверсии мягких изомерных переходов ядра на электронных орбитах многоатомных молекул и кластеров. Характеристики этого процесса детально изучены в целях последующего практического применения конверсии в качестве метода исследования электронной структуры конденсированных средств. В работах А.А. Солдатова создан эффективный метод исследования электронной оболочки соединения; сформулирован и оценен процесс конверсионного типа, приводящий к переносу эффекта несохранения четности ядерных состояний на мезоатомные; показана возможность исследовать эффекты несохранения четности ядерных состояний в спектре радиационных переходов мюона.
Под руководством Алексея Анатольевича разработана и реализована концепция внедрения гетерогенной среды глобального информационного взаимодействия – интернета, которая явилась основой для построения крупнейшей на территории бывшего СССР телекоммуникационной сети Relcom, а также научно-образовательной сети RBNet. Результаты этих работ получили широкое распространение в России и за рубежом и привели к взрывному росту технологии Internet в России.
Большой вклад внес А.А. Солдатов в организацию системы информационного взаимодействия в сфере науки, развитие телекоммуникационной инфраструктуры российской научной сети, а также интеграции ее в мировые научно-исследовательские сети (проекты ГЛОРИАД и GEANT). Алексей Анатольевич – инициатор создания Ассоциации научных и учебных организаций – RELARN, объединяющей пользователей компьютерных сетей передачи данных научно-исследовательских центров, институтов, высших и средних учебных организаций, а также ассоциации Е-АРЕНА, которая объединяет крупнейшие сети для науки и высшей школы, и Российского НИИ развития общественных сетей (РосНИИРОС).
В течение многих лет под руководством А.А. Солдатова проводились исследования, направленные на разработку вычислительной архитектуры нового типа – среды распределенных вычислений (ГРИД), развития и совершенствования отечественного сегмента в рамках Европейского проекта Enabling Grids for E-sciencE.
Под руководством А.А. Солдатова разработаны и внедрены сертифицированные системы защиты информации, создан, функционирует и признан международным сообществом общественный центр безопасности Интернет в России (RU-CERT).
А.А. Солдатов руководит кафедрой информатики и вычислительных сетей Московского физико-технического института, организовал и возглавлял факультет нанотехнологий и информатики МФТИ (сейчас ФНБИК).
В 1974-2008 годах работал в Институте атомной энергии имени И.В. Курчатова (с 1992 года – РНЦ «Курчатовский институт»), занимая должности от младшего научного сотрудника до заместителя директора по информационным технологиям.
В 1995-1998 годах был советником генерального директора Федерального агентства правительственной связи и информации при Президенте РФ, руководил проектом «Деловая сеть России».
В 2008-2010 годах А.А. Солдатов был заместителем Министра связи и массовых коммуникаций РФ, руководителем проекта "Развитие суперкомпьютеров и грид-технологий" Комиссии при Президенте РФ по модернизации и технологическому развитию экономики России.
C ноября 2010 года Алексей Анатольевич Солдатов – проректор МГУ. C 2012 года — советник ректора – начальник Управления информатизации.