Александр Жаров родился 11 августа 1964 года в городе Челябинск. После школы поступил в Южно-Уральский государственный медицинский университет по специальности «Врач-анестезиолог и реаниматолог», который успешно окончил в 1987 году. До 1996 года работал по специальности в городской клинической больнице № 1 родного города. Параллельно, являлся ассистентом кафедры патологической физиологии Челябинского государственного медицинского университета.
В 1997 году Жаров переехал в Москву, где в течение года работал обозревателем, затем заместителем главного редактора журнала «Семейный доктор: практические советы по медицине». В течении следующих двух лет являлся советником председателя правления российского информационного агентства «Вести» Алексея Волина. С 1999 по 2004 год занимал пост помощника по связям с общественностью, пресс-секретаря Министра здравоохранения России Юрия Шевченко. В 2006 году назначен помощником пресс-секретаря, Председателя Правительства Российской Федерации Михаила Фрадкова.
В 2006 году, в Федеральном научном центре гигиены имени Федора Эрисмана, Жаров успешно защитил диссертационную работу на тему: «Медико-гигиенические основы формирования здорового образа жизни в Российской Федерации», получив ученую степень «кандидат медицинских наук». Также, является выпускником юридического факультета Российской Академии Народного Хозяйства и государственной службы при Президенте России.
С 2006 года Александр Александрович занимал должность заместителя генерального директора федерального государственного унитарного предприятия «Всероссийская государственная телевизионная и радиовещательная компания». Отвечал за связи с общественными организациями и государственными органами. С октября 2007 года руководил Департаментом пресс-службы, информации и протокола Правительства России.
В июне 2008 года Жаров назначен заместителем Министра связи и массовых коммуникаций России Игоря Щеголева, отвечавшим за направление государственной политики в области средств массовой информации. В том же году получил чин Действительного государственного советника Российской Федерации первого класса.
В июне 2010 года Жаров избран членом совета директоров открытого акционерного общества «Первый канал». Через два месяца опытный управленец награжден орденом Почета «За активное участие в подготовке и проведении мероприятий, посвященных 65-летию Победы в Великой Отечественной войне 1941-1945 годов».
Распоряжением Председателя Правительства Российской Федерации Владимира Владимировича Путина от 3 мая 2012 года Александр Александрович Жаров назначен руководителем Федеральной службы по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций.
Александр Александрович 6 апреля 2018 года включен в санкционный «Кремлевский список» США в числе 17 чиновников и 7 бизнесменов из Российской Федерации, приближенных к Владимиру Путину. С 15 марта 2019 года включен в санкционный список Канады
Председатель правительства России Михаил Мишустин 23 марта 2020 года освободил Жарова Александра Александровича от должности руководителя Федеральной службы по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций по его просьбе.