Юрий Воробьев родился 2 февраля 1948 года в городе Красноярск. Трудовую деятельность начал после окончания 9 классов средней школы в 1964 году на Красноярском заводе «Крассмаш», работал учеником станочника, шлифовщиком.
В 1966 году Юрий Леонидович поступил в Сибирский федеральный университет в родном городе. Окончил его в 1971 году, по специальности инженер-металлург. После окончания университета остался работать в нем младшим научным сотрудником. Позднее окончил Российскую академию государственной службы при Президенте РФ в городе Москва, по специальности политолог. Получил ученую степень кандидата политических наук.
Работал на различных должностях с 1972 по 1980 года: старшим инженером-технологом, инженером-конструктором, начальником технологического бюро, начальником цеха, заместителем директора на ОАО Красноярский завод прицепной техники.
В 1982 году Воробьева назначили на пост первого заместителя директора Красноярский завод прицепной техники. Затем был назначен инспектором Красноярского краевого комитета.
Красноярским фондом поддержки малых предприятий развития социально-экономических реформ и внешнеэкономических связей в сфере малого бизнеса руководил с 1990 года.
Постановлением Совета Министров Российской Федерации в 1991 году Юрий Леонидович назначен заместителем председателя Российского корпуса спасателей. Чуть позже стал заместителем председателя Государственного комитета РФ по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий.
В 1994 году стал первым заместителем министра РФ по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий. Входил в состав Межведомственной комиссии по участию России в международных организациях ООН.
Юрий Леонидович избран 4 мая 2007 года представителем в Совете Федерации Российской Федерации от законодательного органа власти Вологодской области.
Назначен вице-спикером Совета Федерации, заместителем председателя Совета Федерации Сергея Миронова 19 сентября 2008 года, являлся ответственным за антикоррупционное законодательство. Входил в состав Президиума генерального совета ВПП «Единая Россия».
Правительством Вологодской области Юрий Воробьев вновь делегирован в Совет Федерации на очередной срок представительской работы. Наделен полномочиями с 27 сентября 2016 года. Переизбран заместителем главы Совета Федерации Валентины Матвиенко 28 сентября 2016 года.
Так же Юрий Воробьев: Заместитель председателя Парламентского собрания России и Белоруссии. Председатель управляющего совета Русского географического общества. Почетный президент общероссийской общественной организации «Российский союз спасателей».