2
Родители развелись, когда Данила был маленьким. Кроме него в семье есть ещё его старший брат Егор и младший — Иван.
В кино начал сниматься ещё в 1999 году. Дебютной стала роль хулигана-шестиклассника Дениса Селивёрстова в молодёжном телесериале «Простые истины».
Сразу после окончания СПбГАТИ в 2007 году вошёл в состав Молодой студии Академического Малого драматического театра — Театра Европы в Санкт-Петербурге под руководством Льва Додина, а в 2012 году приглашён в труппу этого театра, где по настоящее время занят в спектаклях «Коварство и любовь» по одноимённой драме Фридриха Шиллера в роли Фердинанда, «Вишнёвый сад» по одноимённой пьесе А. П. Чехова в роли Ермолая Лопахина и «Гамлет» Уильяма Шекспира в роли Гамлета.
В 2005 году стал лауреатом кинопремии «Белый слон» Гильдии киноведов и кинокритиков России в номинации «Лучшая мужская роль» за 2005 год за исполнение роли Николая в художественном фильме «Гарпастум» режиссёра Алексея Германа-младшего.
В 2014 году состоялся голливудский дебют Козловского в фильме Марка Уотерса «Академия вампиров», созданном по серии книг Райчел Мид. Козловский сыграл Дмитрия Беликова — наставника одной из героинь фильма.
В 2017 году сыграл роль графа Воронцова в скандальном российском историческом художественном фильме «Матильда» режиссёра Алексея Учителя.
В марте 2017 года Козловский был объявлен официальным послом чемпионата мира по футболу 2018 года в России.
В детстве недолго учился в балетной школе. В течение шести лет проходил учёбу в Кронштадтском морском кадетском военном корпусе (КМКВК), окончив его в 2002 году. После окончания учёбы в кадетском корпусе поступил на факультет актёрского искусства и режиссуры Санкт-Петербургской государственной академии театрального искусства (СПбГАТИ) на курс под руководством Льва Абрамовича Додина.
