Анатолий Квашнин родился 15 августа 1946 года в городе Уфа, Республика Башкортостан. Вырос в семье военнослужащего. Окончил среднюю школу в городе Далматово, Курганской области. В 1969 году закончил обучение в Курганском машиностроительном институте. Позже получил два дополнительных образования, окончив с отличием Военную академию бронетанковых войск имени Маршала Советского Союза Р. Я. Малиновского и Военную академию Генерального штаба Вооружённых Сил СССР имени К. Е. Ворошилова. Имеет две ученые степени: кандидата социологических наук и доктора военных наук.
По окончании Курганского машиностроительного института, призван в Советскую Армию лейтенантом, сроком на два года. Проходил службу в званиях командира танкового взвода и заместителя командира танковой роты по технической части в Туркестанском военном округе. В 1971 году по рапорту продлил службу, после чего зачислен в кадровый офицерский состав Советской Армии в должности заместителя командира танковой роты по технической части.
С 1976 по 1978 год Анатолий являлся начальником штаба, заместителем командира танкового полка. В августе 1978 года повышен в звании до командира танкового полка, где прослужил в течение трех лет. В 1981 году назначен начальником штаба, заместителем командира 31-й танковой дивизии 28-го армейского корпуса Центральной группы войск.
В июле 1982 года переведен в Республику Казахстан, где прослужил в течение пяти лет в качестве командира 78-й танковой дивизии Среднеазиатского военного округа.
С 1989 по 1992 год являлся первым заместителем командующего 28-й общевойсковой армией в городе Гродно, Белорусского военного округа. С мая по август 1992 года переведен в должность командующего 7-й Краснознаменной танковой армией Белорусского военного округа.
В феврале 1993 года Квашнин назначен первым заместителем начальника Главного оперативного управления Генерального штаба Вооружённых Сил Российской Федерации. С 20 декабря 1994 года по 31 января 1995 года исполнял обязанности командующего Объединённой группировкой российских войск в Чеченской республике.
В феврале 1995 года вступил в должность командующего войсками Северо-Кавказского военного округа. С 19 июня 1997 года назначен начальником Генерального штаба Вооруженных Сил Российской Федерации, первым заместителем министра обороны Российской Федерации.
Указом Президента Российской Федерации от 25 ноября 1997 года Анатолию Васильевичу торжественно присвоено воинское звание генерал армии. Позже, 27 октября 1999 года удостоен почетного звания Героя Российской Федерации.
С 2000 года в течение десяти лет входил в состав Совета Безопасности РФ.
В июле 2004 года Квашнин освобождён от должности начальника Генерального штаба с зачислением в распоряжение Министра обороны Российской Федерации. В начале сентября 2004 года уволен в запас. С 9 сентября 2004 года по 9 сентября 2010 года исполнял обязанности полномочного представителя Президента Российской Федерации в Сибирском федеральном округе. С 15 августа 2011 года официально находится в отставке.
В августе 2013 года назначен на должность председателя Наблюдательного Совета Ассоциации малой и региональной авиации «Авиасоюз». Является член-корреспондентом Российской академии ракетных и артиллерийских наук.
За время службы Анатолию Васильевичу Квашнину присвоено множество государственных, ведомственных и общественных наград: орден «За заслуги перед Отечеством» II, III и IV степеней; орден Мужества; орден Почёта; орден «За службу Родине в Вооружённых Силах СССР» III степени; орден святого благоверного князя Даниила Московского; орден Югославской звезды 1-й степени; медали СССР и РФ. Является офицером ордена Почётного легиона, почётным гражданином города Махачкала.