Андрей Цыбин родился 6 августа 1959 года в городе Москва. Получив аттестат о среднем общешкольном образовании и золотую медаль поступил в Московский Инженерно-Физический Институт на базе Национального исследовательского ядерного университета. В 1982 году с отличием окончил вуз. Позднее получил диплом Российской Академии Народного Хозяйства и Государственной Службы при Президенте Российской Федерации по специальности «юриспруденция». Затем до 1985 года проходил службу в Вооруженных силах.
Демобилизовавшись, начал трудовую карьеру в Научно-Исследовательском проектно-конструкторском и технологическом институте электромашиностроения, где прошел путь от инженера-конструктора, научного сотрудника до главного конструктора. Затем в 1994 году назначен директором Научно-Исследовательского проектно-конструкторского и технологического института электротермического оборудования «Мэлта». В 1996 защитил кандидатскую диссертацию, получив ученую степень кандидата технических наук.
Далее, с 1997 по 2008 год находился на государственной службе в префектуре Юго-Восточного Административного Округа города Москвы.
В 2008 году Андрей Цыбин назначен председателем Комитета по реформированию городского хозяйства города Москвы. С 13 мая 2008 года являлся руководителем Департамента жилищно-коммунального хозяйства и благоустройства города Москвы.
После того, как в 2010 на посту мэра Москвы Юрия Лужкова сменил Сергей Собянин, работа Цыбина получила положительную оценку, и чиновник, в отличие от ряда своих коллег, оказался переутвержден в занимаемой должности.
В том же 2010 году Цыбин возглавил новый городской Общественный совет по проблемам безнадзорных и бесхозяйных животных, созданный под давлением общественности при Департаменте ЖКХиБ. В состав совета, наряду с чиновниками и депутатами, вошли президент Центра защиты прав животных «Вита» Ирина Новожилова, президент Российской ассоциации практикующих ветеринарных врачей Сергей Середа, член правления Российского общества защиты животных «Фауна» Илья Блувштейн, председатель Попечительского совета Международного благотворительного фонда помощи животным «Дарящие надежду» Леонид Ярмольник, артисты Евгений Миронов и Андрей Макаревич.
Указом Мэра Москвы Сергея Собянина от 7 апреля 2015 года Андрей Владимирович Цыбин назначен на должность префекта Юго-Восточного Административного Округа города Москвы.