Евгений Москвичев родился 28 сентября 1957 года в деревне Козинки, Брянская область. Трудовую деятельность начал рабочим, слесарем совхоза «Вперед» Брянской области. Служил в Советской армии. В 1983 году окончил Брянский технологический институт. Работал заместителем начальника объединения Брянского ПАТО «АСУ-перевозки», директором Центральной диспетчерской эксплуатационной службы, а затем заместителем директора комплекса организации пассажирских перевозок ТПО «Брянскавтотранс».
Евгений Сергеевич трудился в должности генерального директора Ассоциации автомобильных перевозчиков и экспедиторов Брянска, директора комплекса организации пассажирских перевозок ААК «Брянскавтотранс», начальника Управления пассажирского транспорта города Брянска.
В 2001 году Москвичев получил ученую степень - Кандидат технических наук, защитив диссертацию на тему «Разработка системы мониторинга и методов нечеткого ситуационного анализа для повышения эффективности международных автомобильных перевозок». С 2001 года по 2003 год занимал пост заместителя руководителя Департамента автомобильного транспорта Министерства транспорта Российской Федерации.
С 2003 года по 2006 год работал начальником управления автомобильного и электрического пассажирского транспорта Министерства транспорта РФ, заместителем директора, директором Департамента государственной политики в области дорожного хозяйства, автомобильного транспорта и городского пассажирского транспорта Министерства транспорта РФ.
В 2006 году Евгений Москвичев занимает должность заместителя Министра транспорта РФ. В 2009 году избран Президентом Ассоциации международных автомобильных перевозчиков. Являлся членом Правительственной комиссии по транспорту, членом Правительственной комиссии по безопасности дорожного движения и членом Правления Торгово-промышленной палаты Российской Федерации.
В 2011 году Евгений Сергеевич избран депутатом Государственной думы Федерального собрания РФ шестого созыва по списку партии «Единая Россия». Региональный список по Ростовской области. Член президиума фракции. С 21 декабря 2011 года возглавлял комитет Госдумы по транспорту. Член правления Торгово-промышленной палаты РФ. Действительный государственный советник РФ 2 класса.
На выборах 18 сентября 2016 года Москвичев Евгений Сергеевич избрался Депутатом Государственной Думы VII созыва в составе федерального списка кандидатов, выдвинутого Всероссийской политической партией «Единая Россия». Региональная группа № 15 - Волгоградская область, Пензенская область, Саратовская область, Тамбовская область. Член фракции «Единая Россия». Председатель комитета ГД по транспорту и строительству. Дата начала полномочий - 18 сентября 2016 года.
Женат. Воспитывает двух детей.