Андрей Бокарев родился 23 октября 1966 года в городе Москва. Получив аттестат о среднем образовании увлекся бизнесом. Высшее образование получил в 1995 году закончив Московский Финансовый Институт, после чего занял пост исполняющего обязанности председателя правления Национального инвестиционного банка. На данной должности находился до 1997 года, затем став заместителем генерального директора «Росэкспортлеса».
Через год, в качестве заместителя генерального директора курировал экспортные поставки «Кузбассразрезугля»: компании, которую приобрел Искандер Махмудов у Сергея Родионова, партнера Бокарева. В том же, 1998 году возглавил австрийскую компанию «Крутрейд АГ» и до 1999 года выступал ее генеральным директором.
С 1999 года Андрей Бокарев избран членом совета директоров ОАО «Уральская горно-металлургическая компания». Через год вошел в совет директоров открытого акционерного общества ХК «Кузбассразрезуголь». Параллельно, занимал пост заместителя генерального директора по внешнему рынку ЗАО «Управляющая компания СТИН Холдинг».
С 2000 года на протяжении пяти лет Андрей Рэмович являлся председателем совета директоров ОАО ХК «Кузбасразрезуголь». С 2001 года на протяжении пяти лет входил в совет директоров ОАО «Алтай-Кокс». Параллельно, с 2003 года выступал членом совета директоров ЗАО «Трансмашхолдинг» и ООО «УГМК-Холдинг». В 2004 году Махмудов и Бокарев объединили разрозненные машиностроительные заводы в «Трансмашхолдинг». С 2004 на протяжении двух лет, вместе с Махмудовым владели 50 % долей «Издательского дома Родионова».
С 2005 года Бокарев являлся членом совета директоров ОАО «Новосибирскэнерго». В середине марта 2007 года подписал с Аманом Тулеевым соглашение о социально-экономическом сотрудничестве, обещав отдать на национальные проекты почти 300 млн рублей.
В этом же году Андрей Бокарев стал президентом Федерации горнолыжного спорта и сноуборда России. В сентябре 2007 года назначен членом Совета при Президенте РФ по развитию физической культуры и спорта, спорта высших достижений, подготовке и проведению XXII зимних Олимпийских игр и XI зимних Паралимпийских игр в городе Сочи.
В 2008 году избран председателем совета директоров «Трансмашхолдинга». До 2009 года являлся председателем правления Межрегиональной организации «Федерация русского бильярда». С 2010 года на протяжении двух лет являлся президентом Федерации фристайла РФ. Президентом Ассоциации лыжных видов спорта России стал 7 июля 2010 года.
С мая 2018 года назначен членом Исполнительного комитета Олимпийского комитета России.
Бокарев, 4 февраля 2020 года покинул пост президента Ассоциации лыжных видов спорта России, передав руководство трехкратной Олимпийской чемпионке Елене Вяльбе.