Андрей Владимирович Варичев родился 25 декабря 1967 году в Орле.
В 1991 году окончил авиамеханический факультет Московского авиационно-технического института им. К. Э. Циолковского (ныне в составе Московского авиационного института) по специальности "инженер-механик летательных аппаратов". Прерывал учебу для службы в Вооруженных силах СССР на космодроме Байконур.
После вуза работал инженером на Заводе экспериментального машиностроения НПО "Энергия" (Королев, Московская область).
С 1992 года занимал руководящие должности на российских металлургических предприятиях, в том числе Нижнетагильском металлургическом комбинате и "Интерурале".
В 2001-2003 годах был заместителем директора, директором по сбыту и экспорту ООО "Торговый дом Новотроицкая сталь - Орско-Халиловский металлургический комбинат", входившего в состав холдинга ООО "Уральская сталь".
В 2003-2004 годах - первый заместитель директора по сбыту, в 2004-2005 годах - заместитель директора по коммерческим вопросам "Уральской стали". Параллельно в 2005 году был генеральным директором Михайловского горно-обогатительного комбината.
В 2006 году "Уральская сталь" вошла в холдинг "Металлоинвест" (основные владельцы - Алишер Усманов и Андрей Скоч). В 2006-2008 годах Андрей Варичев был коммерческим директором ООО "Управляющая компания "Металлоинвест", в 2008-2009 годах - первым заместителем гендиректора управляющей компании.
С февраля 2009 года возглавлял холдинг "Металлоинвест". В 2009 году - в качестве гендиректора ООО "УК "Металлоинвест", в 2009-2014 годах - как гендиректор ОАО "Холдинговая компания "Металлоинвест". С октября 2013 года занимал пост генерального директора ООО "Управляющая компания "Металлоинвест".
С 2006 года был депутатом Курской областной думы IV-VI созывов. Избирался по спискам партии "Единая Россия". В облдуме VI созыва был членом комитета по промышленности, строительству, транспорту и жилищно-коммунальному хозяйству.
Был награжден орденами Почета (2019) и Дружбы (2016).
Был женат. У него осталось двое детей.