Отец Сергей Владимирович Дзюба — уроженец города Лубны Полтавской области Украины, работал милиционером, мать, Светлана Александровна, родилась в Цивильске, Чувашия, работала продавщицей в продуктовом магазине в Москве, в районе станции метро «Щёлковская», затем стала там заместителем директора. В этом же магазине они и познакомились. Семья Дзюбы была небогатой: первоначально они жили в коммуналке в Потаповском переулке и лишь потом купили квартиру в районе Новокосино. Помимо Артёма у семьи в 1992 году родилась дочь, Ольга.
В 2005 году Артём перешёл во взрослую команду «Спартака» и начал выступать за дублирующий состав, будучи порекомендованным Евгением Сидоровым. Своими успехами в дубле Артём заслужил право тренироваться с основным составом.
В 2009 году вызывался в молодёжную сборную России. Всего за неё он провёл 9 матчей и забил 4 гола.
В 2011 году получил вызов в созданную вторую сборную России. В ноябре этого же года был вызван в основную сборную России на товарищеский матч с Грецией, где дебютировал в составе национальный команды, проведя первый тайм.
Дзюба был кандидатом на участие в чемпионате Европы 2012 года, но не попал в заявку из-за необходимости иметь баланс по позициям, а также из-за того, что не вписывался в тактическую систему Адвоката.
14 ноября 2012 года провёл второй матч за сборную против сборной США, где сумел заработать пенальти, реализованный Романом Широковым.
В отборочном турнире ЧМ-2014 вышел на поле единственный раз — в августе 2013 года — против Северной Ирландии. На сентябрьские матчи 2013 года Фабио Капелло не включил его в состав сборной. 12 мая 2014 года был включен в расширенный список кандидатов на поездку в Бразилию на чемпионат мира, однако 16 мая переведён в резерв.
После удачного старта клубного сезона 2014/15 за «Спартак» (6 голов в 5 матчах) Дзюба вновь был вызван в состав сборной, и 8 сентября 2014 года в отборочном матче чемпионата Европы 2016 против команды Лихтенштейна он забил свой первый мяч за национальную команду. 12 октября в отборочном поединке против сборной Молдавии Артём заработал пенальти и сам его реализовал.
Следующий мяч за сборную забил почти год спустя — 5 сентября 2015 года на 38-й минуте домашнего матча в ворота сборной Швеции, что принесло сборной России победу (1:0). Через три дня забил 4 мяча в гостевом матче против Лихтенштейна (7:0) и заработал пенальти, доведя число своих голов в отборочном турнире до 7. Дзюба стал вторым футболистом в истории сборной СССР/России, кому удалось забить более трёх мячей в одной игре. Первым был Олег Саленко, забивший пять мячей в ворота сборной Камеруна 28 июня 1994 года на чемпионате мира в США. В матче против Молдавии 9 октября 2015 года Дзюба забил свой 8-й гол в отборочном турнире и обновил рекорд сборной России по количеству голов в одном отборочном цикле.
Вошёл в заявку сборной России на чемпионат Европы во Франции в 2016 году. Принял участие во всех матчах сборной на групповом этапе. В плей-офф турнира команда не вышла.
Заслуженный мастер спорта России. Двукратный обладатель Кубка России (2014, 2016), двукратный обладатель Суперкубка России (2015, 2016). Участник чемпионата Европы 2016 года и чемпионата мира 2018 года.
В возрасте 8 лет пришёл в академию «Спартака.