Андрей Бурковский родился 14 ноября 1983 года в городе Томск. Мальчик вырос в довольно обеспеченной семье предпринимателей и рестораторов Владимира и Людмилы Бурковских. Андрей учился в престижном «Академическом лицее», где и начал играть в школьной команде КВН под названием «Осколки звезд». По окончании школы Бурковский не собирался становиться актером. Парень поступил в Томский университет, выбрав для себя юридический факультет. Между карьерами юриста и юмориста оставался всего один шаг, и Андрей его сделал.
Во время учебы в университете Андрей Бурковский продолжил выступать в КВН. Поначалу это было его хобби, но со временем игра переросла в нечто большее, отодвинув юриспруденцию на задний план. В 2000 году яркого актера заметили основатели местного театра «Бонифас», который специализировался на юмористических постановках.
Один из его основателей, томский юморист Константин Маласаев, предложил Андрею Бурковскому выступать на сцене. Тот согласился, даже не раздумывая. Маласаев и Бурковский начали работать над новым проектом: создали команду КВН «МаксимуМ». Вскоре играющая команда начала выступать за Томский университет. С ней связаны первые творческие успехи начинающего артиста, а из ее выступлений стартовала творческая биография артиста.
В 2000 году томский «МаксимуМ» становится чемпионом лиги КВН города. В конце того же года команда Бурковского стала бронзовым призером межрегиональной лиги команд КВН Сибири. Через два года «МаксимуМ» становится финалистом в Первой лиге КВН. Времени для выступлений в театре у Андрея Бурковского теперь катастрофически не хватает, и артист покидает «Бонифас», полностью погружаясь в Клуб Веселых и Находчивых.
Команда «МаксимуМ» появилась на телевидении в 2003 году. Это произошло в рамках юмористического фестиваля «Голосящий КиВиН» в Юрмале. Бурковского и его команду заметили и пригласили выступать в Премьер-лиге. Дебют ребят оказался более чем успешным: томские КВНщики во главе с Андреем Бурковским вышли в финал, поделив первое место с уже известной столичной командой «Мегаполис».
Через год «МаксимуМ» вышел в Высшую лигу КВН. В 2005 году в Юрмале команда Бурковского завоевала «Малый КиВиН в темном», а в 2006 году повторила свой успех. В сезоне 2006 года команда взяла новую высоту, «бронзовую медаль» Клуба Веселых и Находчивых. Наиболее успешным для игроков команды стал 2008 год, когда юмористы из Томска завоевали золотые медали Высшей лиги КВН, а Андрей Бурковский занял третье место в проведенном онлайн-голосовании на звание лучшего игрока сезона.
В 2009 году Андрей стал центральным персонажем нового комедийного скетч-шоу под названием «Даешь молодежь!», которое выходило на телеканале СТС. Проект очень скоро набрал обороты популярности, а карьера Бурковского вышла на новый уровень. Теперь он писал сценарии и занимался работой только в рамках проекта. КВН остался позади.
В «Даешь молодежь!» артист появлялся в разных образах: он и метросексуал Данила, и милиционер Вьюшник, и гопник Ржавый. Все роли Бурковского исполнены мастерски, и рыжеволосый актер быстро становится узнаваемым. Его приглашали в новые популярные сериалы, такие как «Кухня», где играл официанта Илью, «Последний из Магикян».
Андрей Бурковский в 2010 году решил получить актерское профессиональное образование и поступил в школу-студию московского художественного академического театра. Учился на курсе Игоря Золотовицкого и Сергея Земцова, причем выступать на сцене МХАТа начал практически сразу после поступления. Наиболее удачными работами в театре можно назвать спектакли «Примадонны», «Пиквикский клуб» и «Идеальный муж».
В 2015 году артист снялся в фильме «Пансионат «Сказка», или Чудеса включены». Также, главная роль досталась актеру в комедии Артема Михалкова «Ставка на любовь». На одной площадке с Андреем играли Катерина Шпица, Андрей Смоляков, Александр Ревва. Поклонники таланта Бурковского в 2016 году увидели любимого актера в комедийном проекте Акаки Сахелашвили «Пушкин», в котором появился в образе кинопродюсера Григория Баранова. Бурковский вместе с Александром Молочниковым, Светланой Устиновой и Яном Цапником сыграли главных героев.
Андрея Владимировича часто приглашают на популярные телешоу. В 2016 году стал участником проекта «Ледниковый период», где выступал в паре с Татьяной Навкой. Дуэт сумел выйти в лидеры и оказался самым ярким на шоу. Но больше всего запомнились номером о холокосте, который поставил Илья Авербух. Андрей и Татьяна вышли на лед в костюмах, стилизованных под полосатые робы заключенных евреев-узников концлагеря. В этом же году Бурковский стал ведущим передачи «Не факт» на телеканале «Звезда».
В 2017 году актер порадовал поклонников новой театральной работой. Вместе с актрисой Юлей Пересильд сыграл в спектакле о семейных отношениях «Солнечная линия». Премьера состоялась на сцене Центра Мейерхольда. В этом же году фильмография артиста существенно расширилась за счет новых проектов. Андрей снялся в комедиях «Елки новые», «Мифы» и исторической ленте «Легенда о Коловрате». Артист старается не зацикливаться на одном амплуа, поэтому от многих проектов отказывается. Тем не менее, не прочь посотрудничать с молодыми режиссерами, выпускниками ВГИКа, в проектах которых снимается бесплатно.
Премьерой 2018 года стал показ драмы Жоры Крыжовникова «Звоните ДиКаприо!», которая создавалась для интернет-площадки «ТНТ-Премьер». В данном фильме Бурковский сыграл актера-неудачника, брата героя Александра Петрова, который, напротив, снискал славу звезды экрана. В следующем, 2019 году артист появился в фильмах «Тобол», «КВНщики» и «Трезвый водитель».