День и место рождения – 21 октября 1950 года в поселке Чаргын-Таш, Киргизская ССР. Первое место работы – с 1973 года - система министерства путей сообщения СССР. Работал в системе по 1987 год. Занимал должность врача-эпидемиолога, позже – руководящие посты разных уровней. После 9 лет стажа получил пост главного санврача Московского метрополитена, в следующем году назначен на должность начальника центральной санэпидстанции МПС СССР. Принимал участие в ликвидации аварии на Чернобыльской АЭС. Был похищен боевиками во время 1-й войны в Чечне. В январе 1993 года был назначен зампредседателем Госкомитета санэпиднадзора – заместителем Главного государственного санврача РФ.
В июне 1996 года стал и.о. председателя Госкомитета санэпиднадзора РФ. В конце октября 1996 года занял пост 1-го замминистра здравоохранения РФ – главного государственного санврача РФ. Стал известным в 2000 году, когда призвал усилить государственный контроль за рекламой и производством пива. Через 3 года распространял информацию через СМИ о возможной вспышке атипичной пневмонии, с 2004 года привлекал внимание к новой опасности – птичьему гриппу. В марте 2004 года назначен руководителем Роспотребнадзора (Федеральной службы по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека). Весной 2006 года был запрещен ввоз молдавских и грузинских вин на территорию РФ в виду несоответствия саннормам. Инициировал запрет Роспотребнадзор. Осенью следующего года был разрешен ввоз молдавских вин. В конце 2008 года Г.Онищенко выдвинул предложение о запрете курения, в том числе и на улице, а также предложил запретить производить и продавать сигареты на территории РФ. По его словам это поможет в борьбе с курением.
Летом 2009 года Роспотребнадзором было запрещено ввозить на территорию РФ более 500 наименований молочной продукции, произведенной в Белоруссии. Позже еще это коснулось 800 наименований. Причиной запрета ввоза стало не переоформление документов согласно техрегламенту по молоку. Летом 2009 года Геннадий Григорьевич выступил с рекомендацией правительству о закрытии международных сообщений с теми странами, в которых были зафиксированы заболевания свиным гриппом. Жителя РФ была дана рекомендация посетить российские курорты во время отпуска и не ездить за границу.
В 2013—2016 годах помощник премьер-министра Дмитрия Медведева. С 5 октября 2016 года — депутат Государственной думы 7-го созыва, первый зампред комитета по образованию и науке.
За свои труды был награжден орденами «За заслуги перед Отечеством» IV степени, «Почета» (2 раза), медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» I степени, государственной премией РФ, премией Правительства РФ. Является заслуженным врачом РФ. Доктор медицинских наук. Женат, есть 3-е детей. Хобби: история России, связанная с историей православия и христианства на Руси.
В 1973 году закончил Донецкий государственный медицинский институт.